[论文解读] The mapping class group of a disk with infinitely many holes

Paul Fabel|ArXiv.org|Mar 4, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文构建了一个左序化的完全度量拓扑群——具体而言，是具有无限多个趋于边界点的圆盘的映射类群——该群在序拓扑下包含阿廷的无限辫群 $B_\infty$ 作为稠密子群。该群被实现为保持边界固定并置换这些点的同胚的商群，其上赋予与拓扑相容的度量和左序，从而解决了关于 $B_\infty$ 的群结构完成问题。

ABSTRACT

A left orderable completely metrizable topological group is exhibited containing Artin's braid group on infinitely many strands. The group is the mapping class group (rel boundary) of the closed unit disk with a sequence of interior punctures converging to the boundary. This resolves an issue suggested by work of Dehornoy.

研究动机与目标

• 为解决 Dehornoy 提出的建议：在 $B_\infty$ 的完成中使用群结构比使用 $EB_\infty$ 的幺半群结构更令人满意。
• 构造一个完全度量的拓扑群，使其在序拓扑下包含 $B_\infty$ 作为稠密子群。
• 在具有趋于边界之无限多个点的圆盘的映射类群上定义一个与商拓扑相容的左序。
• 通过使用 Hausdorff 度量和同胚的路径分支，建立映射类群上的完全度量。

提出的方法

• 将映射类群 $M(H_\infty)$ 定义为商群 $H_\infty / H_\infty^0$，其中 $H_\infty$ 是保持边界并固定一个趋于边界的点列的圆盘同胚群。
• 通过结合 $H_\infty^0$ 的轨道上的 Hausdorff 度量与同胚上的一致度量，构造 $M(H_\infty)$ 上的完全度量 $D$。
• 通过在有限辫群 $B_n$ 上提升 Dehornoy 的几何左序，利用辫子作用在连接弧上首次不同的最小指标，诱导出 $M(H_\infty)$ 上的左序。
• 通过证明一种拓扑中的开集包含另一种拓扑中的开球，利用度量 $D$ 的一致控制，验证序拓扑与商拓扑的相容性。
• 利用 $H_\infty^0 = \bigcap H_n^0$ 在 $H\_\infty$ 中闭合的事实，确保商拓扑行为良好且度量完全。
• 利用 $B_\infty$ 的直接极限结构及单同态 $k_n: B_n \to B_{n+1}$，将 $B_\infty$ 稠密地嵌入 $M(H_\infty)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个完全度量群，使其在序拓扑下包含 $B_\infty$ 作为稠密子群，从而解决 $B_\infty$ 的群完成问题？
• RQ2 在具有无限多个趋于边界的点的圆盘的映射类群上，是否存在一个与由单位元路径分支诱导的商拓扑相容的左序？
• RQ3 由 Dehornoy 左序诱导的 $B_\infty$ 的自然拓扑是否能完成为一个既是完全的又左序化的拓扑群？
• RQ4 能否通过轨道闭包上的 Hausdorff 度量和圆盘上的一致收敛性，为映射类群 $M(H_\infty)$ 定义一个完全度量？
• RQ5 作为闭子群的可数交，$H_\infty^0$ 的结构如何影响 $M(H_\infty)$ 的拓扑与度量结构？

主要发现

• 映射类群 $M(H_\infty)$ 在通过轨道闭包上的 Hausdorff 距离与一致收敛性定义的度量 $D$ 下，是一个完全度量拓扑群。
• 该群 $M(H_\infty)$ 具有一个与商拓扑相容的左序，确保序拓扑与度量拓扑一致。
• 阿廷的无限辫群 $B_\infty$ 在序拓扑下稠密地嵌入 $M(H_\infty)$ 作为子群，且该嵌入是连续的，但并非拓扑意义上的嵌入。
• 路径分支 $H_\infty^0$ 在 $H_\infty$ 中是闭的，这一非平凡事实源于 $H_\infty$ 的非局部连通性，对度量的完全性至关重要。
• 度量 $D$ 定义为：$D(gH_\infty^0, fH_\infty^0) < \varepsilon$ 当且仅当存在代表元 $f_1 \in fH_\infty^0$，$g_1 \in gH_\infty^0$，$f_2 \in f^{-1}H_\infty^0$，$g_2 \in g^{-1}H_\infty^0$，使得在 $D^2$ 上一致有 $\|f_1 - g_1\| < \varepsilon$ 且 $\|f_2 - g_2\| < \varepsilon$，从而保证了完全性。
• 序拓扑与商拓扑相容，因为任一拓扑中的开集都包含另一拓扑中的度量球，该结论通过控制度量 $D$ 及在外区域 $D^2 \setminus D_k$ 上的行为得以验证。