[论文解读] The Martin boundary of relatively hyperbolic groups with virtually abelian parabolic subgroups

Matthieu Dussaule, Ilya Gekhtman+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 2

一句话总结

本文对具有 virtually abelian 抛物子群的相对双曲群上有限支撑随机游走的 Martin 边界提供了完整的拓扑刻画。通过结合相对 Ancona 不等式与 Ney 和 Spitzer 关于次马尔可夫链结果的推广，作者证明 Martin 边界与 Z-边界同胚——Z-边界被定义为锥化空间的 Gromov 边界与抛物子群的视觉边界的并集。特别地，对于 H³ 中的非均匀格，Martin 边界同胚于 Sierpinski 地毯。

ABSTRACT

Given a probability measure on a finitely generated group, its Martin boundary is a way to compactify the group using the Green's function of the corresponding random walk. We give a complete topological characterization of the Martin boundary of finitely supported random walks on relatively hyperbolic groups with virtually abelian parabolic subgroups. In particular, in the case of nonuniform lattices in the real hyperbolic space H n , we show that the Martin boundary coincides with the CAT (0) boundary of the truncated space, and thus when n = 3, is homeomorphic to the Sierpinski carpet.

研究动机与目标

• 为具有 virtually abelian 抛物子群的相对双曲群上有限支撑随机游走的 Martin 边界提供完整的拓扑描述。
• 通过引入相对 Ancona 不等式与次马尔可夫链理论，统一并推广先前在双曲与自由积情形下关于 Martin 边界的成果。
• 证明 Martin 边界与 Z-边界构造一致，后者结合了 Bowditch 边界与抛物子群的视觉边界。
• 证明 Martin 边界中的每一点都是极小的，从而确保几何与概率结构的精确对应。
• 证明对于 Hⁿ 中的非均匀格，当 n = 3 时，Martin 边界同胚于 Sierpinski 地毯。

提出的方法

• 利用相对 Ancona 不等式（定理 4.3）分析 Martin 核沿收敛于 Bowditch 边界中锥点的序列的收敛性。
• 将 Ney 和 Spitzer 结果（命题 4.6）推广至 Zᵏ × {1,…,N} 上的次马尔可夫链，以描述抛物子群附近 Martin 边界的结构。
• 通过将锥化空间 ˆΓ 的 Gromov 边界与抛物子群陪集的视觉边界结合，构造一个 Z-边界作为 Γ 的紧化。
• 证明在抛物子群 P 的大邻域上诱导的随机游走具有大的指数矩，从而可应用推广的 Ney-Spitzer 结果。
• 利用 Floyd 度量与 Cayley 图的几何性质，将 Martin 边界与截断的 CAT(0) 空间的视觉边界关联起来。
• 建立从 Z-边界到 Bowditch 边界的 Γ-等变、连续且满射的映射，从而证明 Martin 边界即为 Z-边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对具有 virtually abelian 抛物子群的相对双曲群的 Martin 边界进行拓扑刻画？
• RQ2 在何种条件下，Martin 边界与截断广义霍罗球后得到的 CAT(0) 空间的视觉边界一致？
• RQ3 在随机游走不关于 P 有限支撑时，Martin 边界在抛物子群附近的结构如何？
• RQ4 当抛物子群为 rank k 的 virtually abelian 群时，Bowditch 边界中抛物点的 Martin 边界下的原像是否同胚于 k−1 维球面？
• RQ5 Martin 边界中的每一点是否都是极小的？这与边界几何结构有何关联？

主要发现

• 具有 virtually abelian 抛物子群的相对双曲群的 Martin 边界同胚于 Z-边界，Z-边界被定义为锥化空间的 Gromov 边界与抛物子群陪集的视觉边界的并集。
• 对于 H³ 中的非均匀格，Martin 边界同胚于 Sierpinski 地毯，因为它与截断 CAT(0) 空间的视觉边界一致。
• Bowditch 边界中抛物点在 Martin 边界映射下的原像同胚于 k−1 维球面，其中 k 为 virtually abelian 抛物子群的秩。
• Martin 边界是 Z-边界，即 Γ 中的序列收敛于边界点当且仅当它收敛于 Bowditch 边界中的锥点，或其在抛物子群陪集上的最近点投影收敛于该子群视觉边界中的点。
• Martin 边界中的每一点都是极小的，即不存在其他边界点序列的极限点，从而保证了清晰的拓扑结构。
• Martin 边界与 Dahmani 的 Z-边界构造以及截断 CAT(0) 空间的视觉边界之间存在 Γ-等变同胚，从而确立了唯一的几何模型。