[论文解读] The martingale representation in a progressive enlargement of a filtration with jumps

Kun Tian, Dewen Xiong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

该论文在密度假设下，针对包含违约时间与损失的逐步扩张过滤，建立了显式的鞅表示定理。推导了条件密度过程与生存过程，实现了在P与P*测度下F-鞅的分解及G-鞅的可预测表示，两种测度下的结果具有显著差异。

ABSTRACT

In this paper, we assume that the filtration $\bb F$ is generated by a $d$-dimensional Brownian motion $W=(W_1,...,W_d)'$ as well as an integer-valued random measure $\mu(du,dy)$. The random variable $ tau$ is the default time and $L$ is the default loss. Let $\mathbb G=\{\scr G_t;t\geq 0\}$ be the progressive enlargement of $\bb F$ by $( tau,L)$, i.e, $\bb G$ is the smallest filtration including $\bb F$ such that $ tau$ is a $\bb G$-stopping time and $L$ is $\scr G_ tau$-measurable. Under the density hypothesis, we consider the $\bb G$-decomposition of a $(P,\bb F)$ martingale and the representation of a $\bb G$-martingale. We characterize the conditional density process by $p_s(s,l)$, $ heta_1(u;s,l)\bb I_{u>s}$ and $ heta_2(u,y;s,l)\bb I_{u>s}$, which allows us to describe the survival process $G$ explicitly. Then we give the explicit $\bb G$-decomposition of a $\bb F$ martingale and obtain the predictable representation theorems both for a $(P,\bb G)$-martingale and a $(P^*,\bb G)$-martingale, which are different as shown in Callegaro, Jeanblanc and Zargari(2010) $^{ ext{\cite{Callegaro-Jeanblanc-Zargari(2010)}}}$.

研究动机与目标

• 分析由违约时间τ与违约损失L引起的过滤F的逐步扩张。
• 在密度假设下，推导条件密度过程p_s(s,l)、θ₁(u;s,l)𝕀_{u>s}与θ₂(u,y;s,l)𝕀_{u>s}。
• 显式刻画生存过程G关于这些密度过程的表达形式。
• 在物理测度P下，建立F-鞅的G-分解。
• 证明(P, G)-鞅与(P*, G)-鞅的可预测表示定理，突出二者在形式上的差异。

提出的方法

• 将过滤F建模为由d维布朗运动W与整数值随机测度μ生成。
• 通过τ（违约时间）与L（违约损失）对F进行逐步扩张，得到G，确保τ为G-停时且L为G_τ-可测。
• 假设密度假设，以刻画违约时间与损失的条件密度过程。
• 利用密度过程p_s(s,l)、θ₁(u;s,l)𝕀_{u>s}与θ₂(u,y;s,l)𝕀_{u>s}，显式推导生存过程G。
• 应用Girsanov定理与G-鞅分解技术，获得F-鞅的G-分解。
• 建立(P, G)-与(P*, G)-鞅的可预测表示定理，揭示其结构差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在包含违约时间与损失的跳跃型过滤逐步扩张中，条件密度过程如何刻画？
• RQ2 在密度假设下，生存过程G关于密度过程的显式形式是什么？
• RQ3 在测度P与P*下，F-鞅的G-分解有何不同？
• RQ4 在何种条件下，G-鞅在P与P*测度下可实现可预测表示？
• RQ5 密度过程θ₁与θ₂如何贡献于G-鞅的表示？

主要发现

• 条件密度过程由p_s(s,l)、θ₁(u;s,l)𝕀_{u>s}与θ₂(u,y;s,l)𝕀_{u>s}完全刻画，从而可显式计算生存过程G。
• 生存过程G通过这些密度过程显式描述，为违约强度动态提供了可处理的形式。
• 在密度假设下，(P, F)-鞅的G-分解以闭式形式导出。
• 建立了(P, G)-鞅的可预测表示定理，其表示形式包含布朗运动与跳跃分量。
• 独立推导了(P*, G)-鞅的可预测表示定理，其结构与P-情形显著不同，验证了Callegaro, Jeanblanc与Zargari (2010) 所指出的差异。
• 结果表明，即使在相同的过滤扩张下，G-鞅在P与P*测度下的表示也存在根本性差异。