[论文解读] The Maslov index in symplectic Banach spaces

Bernhelm Booß–Bavnbek, Chaofeng Zhu|Jun 3, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 84被引用 13

一句话总结

本文通过使用内在的辛约化，将弗雷德霍姆对的拉格朗日子空间的无穷维曲线约化到有限维情形，建立了辛巴拿赫空间中马斯洛夫指标的通用定义。证明了马斯洛夫指标在辛约化下不变，并推导出具有变化主符号和恰当边界条件的椭圆算子的一般去悬垂谱流公式。

ABSTRACT

We consider a curve of Fredholm pairs of Lagrangian subspaces in a fixed Banach space with continuously varying (weak) symplectic structures. Assuming vanishing index, we obtain intrinsically a continuously varying splitting of the total Banach space into pairs of symplectic subspaces. Using such decompositions we define the curve's Maslov index by symplectic reduction to the classical finite-dimensional case. We prove the transitivity of repeated symplectic reductions and obtain the invariance of the Maslov index under symplectic reduction, while recovering all the standard properties of the Maslov index. As an application, we consider curves of elliptic operators which have varying principal symbol, varying maximal domain and are not necessarily of Dirac type. For this class of operator curves, we derive a desuspension spectral flow formula for varying well-posed boundary conditions on manifolds with boundary and obtain the splitting of the spectral flow on partitioned manifolds.

研究动机与目标

• 解决在具有弱化和变化辛结构的无穷维情形下经典马斯洛夫指标理论的失效问题。
• 在辛巴拿赫空间中发展一种内在的、可计算的马斯洛夫指标定义，同时保持标准性质。
• 为具有变化最大定义域和主符号的椭圆算子曲线建立一般谱流公式。
• 证明马斯洛夫指标在辛约化下的不变性，并验证重复约化的传递性。
• 将该框架应用于分段流形，并推导出恰当边界值问题的谱流分解。

提出的方法

• 使用辛约化将固定巴拿赫空间分解为连续变化的辛子空间，将问题约化到有限维。
• 通过辛约化将马斯洛夫指标定义为经典有限维情形，确保其可计算性和不变性。
• 将该理论应用于自伴弗雷德霍姆关系和流形边界上索伯列夫空间中的椭圆微分算子的曲线。
• 利用卡尔德隆投影和柯西数据空间，将谱流与恰当边界条件下的马斯洛夫指标联系起来。
• 运用闭子空间的摄动理论和间隙拓扑，确保在变化的辛结构下拉格朗日子空间的连续性。
• 通过辛分析将马斯洛夫指标与自伴扩张族的谱流关联，推导出去悬垂谱流公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有弱化和连续变化辛结构的无穷维辛巴拿赫空间中，马斯洛夫指标如何实现一致定义？
• RQ2 马斯洛夫指标在辛约化下不变的条件是什么？重复约化的传递性如何成立？
• RQ3 能否为具有变化主符号和定义域的椭圆算子曲线推导出一般谱流公式？
• RQ4 在分段流形上谱流如何分解？马斯洛夫指标在此分解中起什么作用？
• RQ5 在不依赖酉生成元或有限维逼近的情况下，马斯洛夫指标在多大程度上可以实现内在计算？

主要发现

• 即使在弱化和变化的辛结构存在的情况下，马斯洛夫指标仍通过辛约化内在地定义为有限维情形。
• 马斯洛夫指标在辛约化下不变，且重复约化的传递性得以保持，指标值保持不变。
• 为流形边界上自伴恰当椭圆边界值问题的曲线，推导出一般去悬垂谱流公式。
• 在分段流形上谱流发生分解，每个分量对应一步辛约化。
• 弗雷德霍姆对的拉格朗日子空间曲线的马斯洛夫指标等于其关联的自伴弗雷德霍姆扩张族的谱流。
• 该框架适用于不一定是狄拉克型的椭圆算子，包括具有变化最大定义域和主符号的算子。