[论文解读] The mass of spacelike hypersurfaces in asymptotically anti-de Sitter space-times

Piotr T. Chruściel, Gabriel Nagy|ArXiv.org|Oct 2, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文为渐近反 de Sitter（AdS）时空中的类空超曲面建立了哈密顿质量定义，证明了该质量是与背景度量选择无关的几何不变量。它表明，在标准衰减速率条件下，该哈密顿质量与 Abbott-Deser 质量一致，解决了 AdS 引力中质量定义长期存在的歧义，并为这类时空提供了一个唯一且背景无关的能量泛函。

ABSTRACT

We give a Hamiltonian definition of mass for spacelike hypersurfaces in space-times with metrics which are asymptotic to the anti-de Sitter one, or to a class of generalizations thereof. We show that our definition provides a geometric invariant for a spacelike hypersurface embedded in a space-time.

研究动机与目标

• 为渐近 AdS 时空中的类空超曲面定义一个背景无关的质量。
• 解决由于存在多种可能的 (1.1) 形式背景度量而引起的质量定义歧义。
• 建立哈密顿质量作为几何不变量，独立于渐近背景的选择。
• 在标准衰减速率条件下，证明哈密顿质量与 Abbott-Deser 质量的等价性。
• 为 AdS 引力中的质量定义提供严格的理论基础，包括共形和 Komar 型方法。

提出的方法

• 使用哈密顿框架，通过在空间无穷远处边界上对超荷张量 Uαβ 的积分推导质量表达式。
• 利用时空度量 g、背景度量 b 和 b 的一个 Killing 向量 X 定义超荷张量 Uαβ。
• 对 g 相对于 b 施加衰减速率条件，以确保质量积分的收敛性。
• 分析背景度量 b 的渐近等距群，以识别与超曲面 S 正交的相应 Killing 向量。
• 使用 tetrad 形式和关于 r 的渐近展开，将哈密顿质量与 Abbott-Deser 质量进行比较。
• 通过证明在条件 α ≥ n/2 下，两者的超荷张量在高阶修正项内一致，从而证明质量的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为渐近 AdS 时空中的类空超曲面定义一个与背景度量选择无关的几何不变质量？
• RQ2 通过超荷张量 Uαβ 定义的哈密顿质量是否在 AdS 时空中产生一个唯一且物理上有意义的能量泛函？
• RQ3 在何种条件下，哈密顿质量与 Abbott-Deser 质量一致？
• RQ4 在 AdS 中，不同质量定义（如共形、Komar、坐标基）与哈密顿质量有何关系？
• RQ5 在标准衰减速率条件下，当 g 相对于背景 b 衰减时，哈密顿质量是否定义良好且收敛？

主要发现

• 通过超荷张量 Uαβ 的积分定义的哈密顿质量，是渐近 AdS 时空中超曲面的几何不变量。
• 只要满足渐近条件，该质量与 (1.1) 形式背景度量 b 的选择无关。
• 在条件 α ≥ n/2 下，哈密顿质量与 Abbott-Deser 质量完全一致，其中 g 的衰减速率为 o(1/rα)。
• 超荷张量 Uαβ 渐近匹配 Abbott-Deser 超荷张量 V αβ，误差项为 o(rβ−2α)，当 β − 2α ≤ 0 时两者相等。
• 当 (M, h) 具有非正 Ricci 曲率和常数标量曲率时，背景度量 b 的渐近等距群为一维，从而保证存在唯一的法向 Killing 向量场。
• 结果表明，AdS 中的共形质量定义也是不变的，因为在相同条件下它们与哈密顿质量等价。