[论文解读] The Mass of the Oppenheimer-Snyder Black Hole

Abhas Mitra|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文重新分析了Oppenheimer-Snyder塌缩模型，基于原始解中对数时间方程的数学约束，论证了由此产生的黑洞的引力质量必须为零。它表明，条件 y ≥ 1（其中 y = r_b / 2M）会阻止 trapped surfaces 的形成，除非 M = 0，这意味着在广义相对论的精确公式下，有限质量黑洞无法由此模型形成。

ABSTRACT

The only instance when the General Relativistic (GTR) collapse equations have been solved (almost) exactly to explicitly find the metric coefficients is the case of a homogeneous spherical dust (Oppenheimer and Snyder in 1939 in Phy. Rev. 56, 455). The equation (37) of their paper showed the formation of an event horizon for a collapsing homogeneous dust ball of mass M in that the circumference radius the outermost surface, r_b = r_0= 2M in a proper time proportional to r_0^{-1/2} in the limit of large Schrarzschild time t= infinity. But Eq.(37) was approximated from the Eq. (36) whose essential character is t = log (y+1/y-1), where, at the boundary of the star y=r_b/ r_0 = r_b /2 M. And since the argument of a logarithmic function can not be negative, one must have y >= 1 or 2M/r_b <= 1. This shows that, atleast, in this case (i) trapped surfaces are not formed, (ii) if the collapse indeed proceeds upto r=0, we must have M=0, and (iii) proper time taken for collapse =infinity. Thus, the gravitational mass of OS black holes are unique and equal to zero. In the preceding paper (astro-ph/9904162), we assumed the existence of a finite mass BH and studied its properties in terms of Kruskal-Szekeres coordinates. And we showed that the radial geodesic of a material particle which must be timelike at r=2M, if M >0, actually becomes null. And this independently showed that BHs have unique mass, M=0.

研究动机与目标

• 重新表达并重新分析原始 Oppenheimer-Snyder 方程，以评估有限质量黑洞形成的物理一致性。
• 研究在塌缩方程的完整解下，事件视界形成条件 r_b = 2M 是否在数学和物理上成立。
• 考察对数时间方程 t = log(y + 1/y - 1) 对 trapped surfaces 存在性及黑洞最终质量的影响。
• 挑战传统观点，即 Oppenheimer-Snyder 模型会产生有限质量黑洞，提出 M = 0 才是唯一一致的解。
• 证明当 M > 0 时，r = 2M 处的类时径向测地线会变为类光，除非 M = 0，这暗示矛盾，因此 M = 0 是唯一一致解。

提出的方法

• 分析 Oppenheimer 和 Snyder 1939 年论文中的方程 (36) 的精确形式，即 t = log(y + 1/y - 1)，其中 y = r_b / 2M。
• 应用对数函数的数学约束，即其参数必须非负，要求 y ≥ 1 或等价地 2M / r_b ≤ 1。
• 推导出 trapped surfaces 无法形成，除非 M = 0，因为 y ≥ 1 意味着 2M / r_b ≤ 1，而当 r_b → 0 时，这仅在 M = 0 时成立。
• 使用 Kruskal-Szekeres 坐标分析 r = 2M 处径向测地线的性质，表明当 M > 0 时，类时路径会变为类光。
• 将原始论文中使用的近似方程 (37) 与精确的对数形式 (36) 进行比较，揭示有限 M 假设中的不一致。
• 得出结论：在完整的广义相对论方程下，唯一一致的解是 M = 0，意味着此塌缩模型不会形成有限质量黑洞。

实验结果

研究问题

• RQ1 对数时间方程 t = log(y + 1/y - 1) 在 y < 1 时是否允许形成事件视界？
• RQ2 为使对数函数有定义而要求 y ≥ 1，这对塌缩尘埃球的质量 M 有何约束？
• RQ3 若 M > 0，且满足 2M / r_b ≤ 1，Oppenheimer-Snyder 模型中是否可能形成 trapped surface？
• RQ4 若 M > 0，塌缩至 r = 0 所需的固有时间是多少？它是否保持有限？
• RQ5 为何在 r = 2M 处原本为类时的径向测地线在 M > 0 时会变为类光？这又对有限质量黑洞的存在性意味着什么？

主要发现

• 对数时间方程 t = log(y + 1/y - 1) 要求 y ≥ 1，这意味着 2M / r_b ≤ 1，而当 r_b → 0 时，该条件仅在 M = 0 时成立，除非 M = 0，否则无法满足。
• 在 Oppenheimer-Snyder 模型中，只有当 M = 0 时 trapped surfaces 才可能形成，因为条件 y ≥ 1 禁止了 y < 1 的情况。
• 若 M > 0，塌缩至 r = 0 的固有时间会发散至无穷大，意味着在精确解下，奇点无法在有限时间内达到。
• 当 M > 0 时，r = 2M 处原本为类时的径向测地线会变为类光，这与质量黑洞的要求矛盾，因此唯一一致的解是 M = 0。
• 使用 Kruskal-Szekeres 坐标进行的分析确认，假设 M > 0 会导致 r = 2M 处出现类光测地线，这与质量黑洞的存在不一致。
• Oppenheimer-Snyder 塌缩方程的唯一一致解是引力质量为零的黑洞，即 M = 0。