[论文解读] The matching relaxation for a class of generalized set partitioning problems

Phillippe Samer, Evellyn Cavalcante+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Maritime Ports and Logistics参考文献 40被引用 2

一句话总结

本文提出两种基于辅助图中最大权匹配的组合下界，用于广义集合划分问题（GSPP），实现更快的对偶下界计算和有效的变量缩减。该方法在海运物流基准实例中，仅用精确方法所需30%的时间即达到最优或近似最优解，在数学启发式算法和基于松弛的优化中表现出色。

ABSTRACT

This paper introduces a discrete relaxation for the class of combinatorial optimization problems which can be described by a set partitioning formulation under packing constraints. We present two combinatorial relaxations based on computing maximum weighted matchings in suitable graphs. Besides providing dual bounds, the relaxations are also used on a variable reduction technique and a matheuristic. We show how that general method can be tailored to sample applications, and also perform a successful computational evaluation with benchmark instances of a problem in maritime logistics.

研究动机与目标

• 为具有打包约束的广义集合划分问题（GSPP）开发高效的对偶下界。
• 提出基于加权匹配的组合松弛方法，其速度优于传统的线性规划（LP）松弛。
• 将这些松弛方法应用于变量缩减与数学启发式设计，以支持实际优化。
• 在具有已知最优解的真实海运物流实例上验证方法的有效性。
• 证明组合下界可推广至特定应用的松弛方法，并保持优异性能。

提出的方法

• 基于任务分配与资源兼容性构建两张图，以建模成对冲突关系。
• 在这些图上计算最大权匹配，以推导GSPP公式化的下界。
• 将更强的匹配下界用作数学启发式与变量缩减技术中的变量选择标准。
• 将该松弛方法应用于求解完整整数规划前的变量缩减。
• 采用一种数学启发式算法，利用组合下界优先选择变量，以提升求解速度。
• 通过问题特定的图构造方法，将该方法适配至具体应用场景，包括作业调度、人员排班与港口物流。

实验结果

研究问题

• RQ1 在构造的图中，最大权匹配能否为具有打包约束的GSPP提供有效的对偶下界？
• RQ2 与LP松弛相比，组合匹配松弛在下界质量与计算速度方面表现如何？
• RQ3 这些下界能否有效用于大规模GSPP实例的变量缩减？
• RQ4 基于匹配的松弛在数学启发式算法中，能在多大程度上提升求解速度而不损失解的质量？
• RQ5 该方法能否在最小修改下推广并适配至多样化应用领域？

主要发现

• 匹配松弛提供的下界强于其他松弛方法，论文中已给出形式化证明。
• 在海运物流基准测试中，该方法在83%的实例中找到了已知最优解，其余实例的解与最优解差距在4%以内。
• 数学启发式算法平均仅用精确方法所需30%的时间，即获得最优或近似最优解。
• 对于实例23，最优解的求解速度比基线方法快8倍。
• 对于实例28，数学启发式算法在基线运行时间的6%以内，即获得与最优解相差3%以内的解。
• 变量缩减技术显著减小了模型规模，某些情况下可消除高达90%的变量，从而提升可扩展性。