[论文解读] The Mather measure and a Large Deviation Principle for the Entropy Penalized Method

Diogo A. Gomes, Artur O. Lopes+1 more|ArXiv.org|Jul 17, 2007

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文为拉格朗日动力学中熵惩罚的Mather问题建立了大偏差原理（LDP），表明罕见事件的速率函数由 $ I(x,v) = L(x,v) + \nabla\phi_0(x)\cdot v - \overline{H}_0 $ 给出，其中 $ \phi_0 $ 是哈密顿-雅可比方程的解。该结果在拉格朗日量的通用条件下成立，包括超线性性和严格凸性，并推广至 $ \epsilon, h \to 0 $ 和固定 $ h $ 时 $ \epsilon \to 0 $ 的情形，为通过熵正则化近似Mather测度提供了严格的渐近框架。

ABSTRACT

We present a large deviation principle for the entropy penalized Mather problem when the Lagrangian L is generic (in this case the Mather measure $μ$ is unique and the support of $μ$ is the Aubry set). Consider, for each value of $ε$ and h, the entropy penalized Mather problem $\min \{\int_{ n imes n} L(x,v)dμ(x,v)+εS[μ]\},$ where the entropy S is given by $S[μ]=\int_{ n imes n}μ(x,v)\ln\frac{μ(x,v)}{\int_{ n}μ(x,w)dw}dxdv,$ and the minimization is performed over the space of probability densities $μ(x,v)$ that satisfy the holonomy constraint It follows from D. Gomes and E. Valdinoci that there exists a minimizing measure $μ_{ε, h}$ which converges to the Mather measure $μ$. We show a LDP $\lim_{ε,h o0} ε\ln μ_{ε,h}(A),$ where $A\subset \mathbb{T}^N imes\mathbb{R}^N$. The deviation function I is given by $I(x,v)= L(x,v)+ ablaϕ_0(x)(v)-\bar{H}_{0},$ where $ϕ_0$ is the unique viscosity solution for L.

研究动机与目标

• 推导拉格朗日动力学中熵惩罚Mather问题的大偏差原理（LDP）。
• 刻画在 $ \epsilon, h \to 0 $ 极限下，罕见事件概率指数衰减的速率函数。
• 证明离散时间Aubry-Mather问题存在分离次动作函数。
• 将LDP扩展至 $ h $ 固定而仅 $ \epsilon \to 0 $ 的情形。
• 为通过熵正则化使用光滑且绝对连续的密度近似Mather测度，提供严格的渐近框架。

提出的方法

• 将熵惩罚的Mather问题表述为在满足离散全纯约束的概率密度 $ \mu $ 上最小化 $ \int L(x,v)\,d\mu + \epsilon S[\mu] $。
• 熵 $ S[\mu] $ 定义为 $ \int \mu(x,v) \ln \left( \frac{\mu(x,v)}{\int \mu(x,w)\,dw} \right) dx\,dv $，以促进极小化器的光滑性和绝对连续性。
• 分析依赖于一致次凸性估计和哈密顿-雅可比方程 $ H(\nabla\phi(x), x) = -\overline{H}_0 $ 的粘性解。
• 速率函数 $ I(x,v) $ 推导为 $ L(x,v) + \nabla\phi_0(x)\cdot v - \overline{H}_0 $，将LDP与Mather测度及Aubry集联系起来。
• 通过可数单位分解和作用函数 $ S(x,\cdot) $ 的一致Lipschitz界，构造了分离次动作函数。
• 证明使用紧致性论证和路径收敛，表明偏差函数捕捉了从Aubry集出发的最小作用成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \epsilon, h \to 0 $ 时，熵正则化Mather测度的大偏差的速率函数是什么？
• RQ2 速率函数如何与哈密顿-雅可比方程及粘性解 $ \phi_0 $ 相关联？
• RQ3 当 $ h $ 固定而仅 $ \epsilon \to 0 $ 时，能否建立大偏差原理？
• RQ4 离散时间Aubry-Mather问题是否具有分离次动作函数？
• RQ5 当 $ \epsilon, h \to 0 $ 时，熵正则化极小化器 $ \mu_{\epsilon,h} $ 的渐近行为如何？

主要发现

• LDP的速率函数为 $ I(x,v) = L(x,v) + \nabla\phi_0(x)\cdot v - \overline{H}_0 $，其中 $ \phi_0 $ 是方程 $ H(\nabla\phi, x) = -\overline{H}_0 $ 的唯一粘性解。
• 在 $ \epsilon, h \to 0 $ 的极限下，LDP成立，速率函数捕捉了偏离Mather测度的成本。
• 当 $ h $ 固定时，随着 $ \epsilon \to 0 $，建立了LDP，且速率函数具有相同的结构。
• 在拉格朗日量 $ L $ 的假设通用性条件下，Mather测度 $ \mu $ 是唯一的。
• 通过一致Lipschitz函数和可数单位分解，构造了离散时间Aubry-Mather问题的分离次动作函数。
• 当 $ \epsilon, h \to 0 $ 时，熵正则化极小化器 $ \mu_{\epsilon,h} $ 收敛于Mather测度 $ \mu $，且收敛速率由LDP控制。