[论文解读] The $\mathrm{RO}(G)$-Graded Cohomology of the Equivariant Classifying Space $B_G\mathrm{SU}(2)$

Zev Chonoles|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文计算了在Burnside环Mackey函子系数下，具有C₂-等变结构的分类空间BC₂SU(2)的RO(C₂)-分次Bredon上同调。利用等变偶数维自由性定理与乘法比较定理，证明了上同调由两个元素生成——c位于4σ维，C位于4+4σ维，且满足关系式c² = ε⁴c + ξ²C，其中ε与ξ为点的上同调中的元素。

ABSTRACT

We compute the additive structure of the $\mathrm{RO}(C_n)$-graded Bredon equivariant cohomology of the equivariant classifying space $B_{C_n}\mathrm{SU}(2)$, for any $n$ that is either prime or a product of distinct odd primes, and we also compute its multiplicative structure for $n=2$. In particular, as an algebra over the cohomology of a point, we show that the cohomology of $B_{C_2}\mathrm{SU}(2)$ is generated by two elements subject to a single relation: writing $σ$ for the sign representation of $C_2$ in $\mathrm{RO}(C_2)$, the generators are an element $c$ in dimension $4σ$ and an element $C$ in dimension $4+4σ$, satisfying the relation $c^2 = ε^4 c + ξ^2 C$, where $ε$ and $ξ$ are elements of the cohomology of a point. Throughout, we take coefficients in the Burnside ring Mackey functor $A$. The key tools used are equivariant "even-dimensional freeness" and "multiplicative comparison" theorems for $G$-cell complexes, both proven by Lewis in [Lew88] and subsequently refined by Shulman in [Shu10], and with the former theorem extended by Basu and Ghosh in [BG16]. The latter theorem enables us to compute the multiplicative structure of the cohomology of $B_{C_2}\mathrm{SU}(2)$ by embedding it in a direct sum of cohomology rings whose structure is more easily understood. Both theorems require the cells of the $G$-cell complex to be attached in a well-behaved order, and a significant step in our work is to give $B_{C_n}\mathrm{SU}(2)$ a satisfactory $C_n$-cell complex structure.

研究动机与目标

• 确定当G = Cₙ且n为素数或若干个不同奇素数的乘积时，等变分类空间BCₙSU(2)的RO(G)-分次Bredon上同调的加法与乘法结构。
• 在BCₙSU(2)上构造一个良好的Cₙ-细胞复形结构，以使等变上同调定理得以应用。
• 将eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A)的乘法结构作为eH∗C₂(S⁰; A)-代数进行计算，识别生成元与关系式。
• 将Lewis与Shulman的偶数维自由性与乘法比较定理推广并应用于等变上同调计算。
• 通过限制与转移映射至固定点子空间，验证生成元之间的代数关系。

提出的方法

• 利用Cₙ-表示的等变射影空间，在BCₙSU(2)上构造Cₙ-细胞复形结构。
• 应用偶数维自由性定理（Basu与Ghosh推广），推导出BCₙSU(2)的上同调在偶数RO(G)-度数上关于点的上同调是自由的。
• 利用乘法比较定理（Shulman，源自Lewis），将BC₂SU(2)的上同调嵌入到若干更简单上同调环的直和中。
• 通过Borel构造与余纤维序列，利用限制与转移映射分析过滤阶段的上同调。
• 通过等变球面与射影空间的显式构造，识别出4σ维的生成元c与4+4σ维的生成元C。
• 通过检查其在固定点上的限制像以及利用比较定理，验证关系式c² = ε⁴c + ξ²C。

实验结果

研究问题

• RQ1 当n为素数或若干个不同奇素数的乘积时，BCₙSU(2)的RO(Cₙ)-分次Bredon上同调的加法结构是什么？
• RQ2 eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A)作为eH∗C₂(S⁰; A)-代数的乘法结构是什么？
• RQ3 如何利用比较定理与细胞复形过滤计算乘法结构？
• RQ4 在C₂情形下，上同调环生成元之间的代数关系是什么？
• RQ5 限制与转移映射如何帮助验证上同调关系c² = ε⁴c + ξ²C？

主要发现

• 当系数为Burnside环Mackey函子A时，BCₙSU(2)的RO(Cₙ)-分次Bredon上同调作为eH∗Cₙ(S⁰; A)-模，在偶数RO(Cₙ)-度数上是自由的。
• 当G = C₂时，上同调eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A)作为代数由两个元素生成：c位于4σ维，C位于4+4σ维。
• 生成元满足关系式c² = ε⁴c + ξ²C，其中ε与ξ属于eH∗C₂(S⁰; A)，ε位于0度，ξ位于2度。
• c在固定点上的限制为x₀，C的限制为x₀(ε⁴ + ξ²x₀)，与关系式一致。
• 过滤阶段PH(Wₙ)+的上同调同构于eH∗C₂(PH(Wₙ₋₁)+) ⊕ Σ^{wₙ} eH∗C₂(S⁰; A)，其中wₙ = 4n。
• 自然映射eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A) → lim←− eH∗C₂(PH(Wₙ)+; A)是同构，确认了上同调的colimit结构。