[论文解读] The maximal degree in random recursive graphs with random weights

Bas Lodewijks, Marcel Ortgiese|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2020

Complex Network Analysis Techniques被引用 4

一句话总结

本文研究加权随机递归图中最大度的渐近行为，其中顶点具有独立同分布的随机权重，影响连接概率。研究发现，最大度的渐近行为关键取决于权重分布的尾部特性：对于弗雷chet型权重，主导项是随机的，并收敛到泊松点过程的一个泛函；对于耿贝尔型权重，主导项是确定性的，且出人意料的是，当考虑全部顶点时，二阶项也是确定性的，尽管在紧凑窗口中原本预期存在随机性。

ABSTRACT

We study a generalisation of the random recursive tree (RRT) model and its multigraph counterpart, the uniform directed acyclic graph (DAG). Here, vertices are equipped with a random vertex-weight representing initial inhomogeneities in the network, so that a new vertex connects to one of the old vertices with a probability that is proportional to their vertex-weight. We first identify the asymptotic degree distribution of a uniformly chosen vertex for a general vertex-weight distribution. For the maximal degree, we distinguish several classes that lead to different behaviour: For bounded vertex-weights we obtain results for the maximal degree that are similar to those observed for RRTs and DAGs. If the vertex-weights have unbounded support, then the maximal degree has to satisfy the right balance between having a high vertex-weight and being born early. For vertex-weights in the Frechet maximum domain of attraction the first order behaviour of the maximal degree is random, while for those in the Gumbel maximum domain of attraction the leading order is deterministic. Surprisingly, in the latter case, the second order is random when considering vertices in a compact window in the optimal region, while it becomes deterministic when considering all vertices.

研究动机与目标

• 理解随机顶点权重如何影响增长型随机递归图中的度分布与最大度。
• 表征在不同权重分布下最大度的渐近行为，特别是有界、弗雷chet型与耿贝尔型吸引域的情形。
• 解决耿贝尔分布权重下最大度二阶波动的表面矛盾：当考虑所有顶点时，其二阶项为确定性，而非如初始预期的随机性。

提出的方法

• 建模一个增长型随机图，其中每个新顶点以与其随机独立同分布顶点权重成比例的概率连接到已有顶点。
• 在图增长至极限时，分析均匀随机选取顶点的度分布。
• 使用条件期望与集中不等式控制每个顶点期望度的波动。
• 应用极值理论与泊松点过程极限，表征最大度的分布。
• 通过与更新过程的耦合及鞅技术推导条件度矩的渐近结果。
• 采用窗口化方法隔离最大度的最优区域，并证明最大度位置与值的联合收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有独立同分布顶点权重的加权随机递归图中，均匀随机选取顶点的渐近度分布行为如何？
• RQ2 当顶点权重具有无界支撑时，最大度的一阶渐近行为由什么决定？
• RQ3 为何在紧凑窗口中，最大度的二阶波动看似随机，但在考虑所有顶点时，对于耿贝尔分布权重，其二阶波动却变为确定性？
• RQ4 最大度顶点的位置如何渐近行为？其与最大度值的联合极限为何？
• RQ5 当顶点权重处于弗雷chet最大域吸引时，最大度的极限分布是什么？

主要发现

• 对于有界顶点权重，最大度以对数速度增长，与经典随机递归树类似。
• 当顶点权重处于弗雷chet域吸引时，最大度的主导行为是随机的，并依分布收敛到泊松点过程的一个泛函。
• 对于耿贝尔分布权重，最大度的一阶增长是确定性的，与朴素预期的随机二阶波动相矛盾。
• 出人意料的是，即使在考虑所有顶点时，最大度的二阶项也是确定性的，而非仅在紧凑窗口中，这是由于必须考虑更大的最优区域。
• 经适当归一化后，最大度顶点的位置依分布收敛到对数尺度上的均匀分布，其极限依赖于权重分布。
• 建立了最大度位置与值的联合收敛性，表明最大度的极限分布为耿贝尔型极值分布。