[论文解读] The maximal entropy measure detects non-uniform hyperbolicity

Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|May 14, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 3

一句话总结

该论文证明了有理函数的半双曲性与拓扑Collet-Eckmann（TCE）条件可通过其最大熵测度的性质来刻画：半双曲性等价于测度在Julia集上为加倍测度，而TCE条件等价于小球上测度具有多项式下界。该结果将Carleson、Jones与Yoccoz的经典定理推广至具有完全不变吸引域的有理函数，表明此类吸引域为John域当且仅当映射为半双曲性。

ABSTRACT

We characterize two of the most studied non-uniform hyperbolicity conditions for rational maps, semi-hyperbolicity and the topological Collet-Eckmann condition, in terms of the maximal entropy measure. Using the same tools in the proof of these results we give an extension of a result of Carleson, Jones and Yoccoz, that semi-hyperbolicity characterizes those polynomial maps whose basin of attraction of infinity is a John domain, to rational maps having a completely invariant attracting basin.

研究动机与目标

• 通过最大熵测度的性质，刻画有理函数的半双曲性与TCE条件。
• 将Carleson-Jones-Yoccoz关于多项式域为John域的定理推广至具有完全不变吸引域的有理函数。
• 证明最大熵测度在Julia集上为加倍测度当且仅当映射为半双曲性。
• 建立TCE条件与小球上测度的多项式下界之间的等价关系。

提出的方法

• 通过迭代映射下局部原像分支在Julia集上点处的局部全纯度来定义迭代的半局部度。
• 利用最大熵测度在Julia集上的支撑，并通过测度论估计分析其加倍性质。
• 通过控制原像分支的增长，证明半双曲性蕴含测度的加倍性。
• 通过畸变估计与覆盖论证，建立TCE条件与测度在小球上具有多项式下界之间的关系。
• 应用John域与孔隙性的理论，将吸引域的几何性质与动力学条件联系起来。
• 利用Haïssinsky与Pilgrim关于加倍测度的结果，并通过覆盖与畸变控制将其推广至有理函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最大熵测度满足何种条件下，有理函数为半双曲性？
• RQ2 TCE条件是否等价于Julia集中小球上测度具有多项式下界？
• RQ3 能否将通过半双曲性刻画多项式域为John域的结论推广至具有完全不变吸引域的有理函数？
• RQ4 若具有John域吸引域的有理函数中Julia集具有孔隙性，则其Julia集中是否无重临临界点？
• RQ5 在TCE条件下，最大熵测度多项式下界中的最优指数α为何？

主要发现

• 有理函数为半双曲性当且仅当其最大熵测度在Julia集上为加倍测度。
• TCE条件成立当且仅当存在常数 r₀ > 0，α > 0，C > 0，使得对所有 x ∈ J(f) 与 r ∈ (0,r₀)，有 ρ_f(B(x,r)) ≥ Cr^α。
• 下界中的最优指数α在附注4中被确定并明确刻画。
• 若一有理函数具有完全不变的吸引域且该吸引域为John域，则该映射为半双曲性。
• 当吸引域为John域时，Julia集的孔隙性可推出其无重临临界点。
• 该结果将Carleson-Jones-Yoccoz定理推广至有理函数：具有完全不变吸引域的有理函数为半双曲性当且仅当该吸引域为John域。