[论文解读] The maximal jump and local convergence of continuous-state branching processes

Xin He, Zenghu Li|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文研究了在不同条件化机制下连续状态分支过程（CB过程）的最大跳跃分布及其局部收敛性质。通过随机微分方程与Lévy-Itô分解，推导出局部与全局最大跳跃的精确表达式及渐近性质，建立了最大跳跃分布与Lévy测度之间的绝对连续性关系，并证明了在对大最大跳跃、大宽度或大总质量进行条件化时，过程局部收敛于CBI过程——扩展了经典的大高度条件化结果。

ABSTRACT

We study the distribution of the maximal jump of continuous-state branching processes. Several exact expressions and explicit asymptotics of both the local maximal jump and the global maximal jump are obtained. We also compare the distribution of the maximal jump and the Lévy measure to get several absolute continuity results. Then we study local convergence of continuous-state branching processes under various conditionings. We obtain complete results under the conditioning of large maximal jump, and partial results under two other conditionings, which are, the conditioning of large width, and, the conditioning of large total mass.

研究动机与目标

• 刻画连续状态分支过程中最大跳跃的分布，涵盖局部与全局情形。
• 建立临界、次临界与超临界情形下最大跳跃分布与Lévy测度之间的绝对连续关系。
• 将经典CB过程的局部收敛结果扩展至标准大高度条件化之外的情形。
• 研究在三种替代条件化机制下的局部收敛性：大最大跳跃、大宽度与大总质量。
• 为理解CB过程在不同路径约束下的缩放极限提供统一框架。

提出的方法

• 利用随机微分方程与Lévy-Itô分解分析CB过程中跳跃动态。
• 通过涉及Lévy测度与分支机制的常微分方程推导局部最大跳跃的分布。
• 在点过程测度下应用点过程表示法，获得适用于Lévy树的结果。
• 采用时间改变过程与指数倾斜法，分析大跳跃与大质量条件化下的条件分布。
• 利用马氏性质与Laplace指数的渐近分析推导收敛极限。
• 通过指数鞅的条件等价性结果，实现条件测度的变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 CB过程中最大跳跃的分布与其Lévy测度有何关系？
• RQ2 在何种条件下，全局最大跳跃的分布相对于Lévy测度是绝对连续的？
• RQ3 当CB过程被条件化为具有大最大跳跃时，其极限行为如何？
• RQ4 在大最大跳跃条件化下的局部收敛性与经典的大高度条件化相比有何异同？
• RQ5 在大宽度或大总质量条件化下，极限分布是什么？

主要发现

• 局部最大跳跃的尾部与Lévy测度的尾部渐近同阶，如定理3.3所示。
• 在次临界情形下，全局最大跳跃的尾部渐近等价于Lévy测度的尾部，如定理3.7所建立。
• 在临界与次临界情形下，全局最大跳跃的分布相对于Lévy测度是绝对连续的，如定理3.11所示。
• 对于局部最大跳跃，其与Lévy测度的绝对连续性在所有情形下均成立，如定理3.14所证明。
• 在大最大跳跃条件化下，局部极限为带移民的CBI过程，其形式与临界情形下的经典大高度极限相同，如定理4.2所示。
• 在大总质量条件化下，本文猜想收敛于一个CBI过程，其分支与移民机制经修正，具体取决于临界性及临界倾斜参数的存在性。