[论文解读] The maximal order of a class of multiplicative arithmetical functions

László Tóth, Eduard Wirsing|ArXiv.org|Oct 11, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文通过分析素数幂处的函数值上确界及一个相关无穷乘积，建立了确定乘法数论函数（特别是除数和函数与欧拉型函数）的极大与极小阶的一般定理。关键结果为：此类函数的极大阶渐近为 $ e^{\tau} R \log\log n $，其中 $ R $ 是涉及归一化上确界值的素数乘积，推广了 $ \sigma(n) $、$ \sigma^*(n) $ 和 $ \phi(n) $ 的经典结果。

ABSTRACT

We prove simple theorems concerning the maximal order of a large class of multiplicative functions. As an application, we determine the maximal orders of certain functions of the type $σ_A(n)= \sum_{d\in A(n)} d$, where A(n) is a subset of the set of all positive divisors of $n$, including the divisor-sum function $σ(n)$ and its unitary and exponential analogues. We also give the minimal order of a new class of Euler-type functions, including the Euler-function $ϕ(n)$ and its unitary analogue.

研究动机与目标

• 填补现有框架在确定乘法数论函数极值阶方面的空白，超越特定情形的限制。
• 建立易于应用的定理，以计算非负乘法函数的 $ f(n)/\log\log n $ 的上极限。
• 将 $ \sigma(n) $、$ \sigma^*(n) $、$ \phi(n) $ 及其单位除数与指数型类比函数的已知结果，推广至广义除数函数的广泛类别。
• 在除数系统 $ A $ 的结构条件下，刻画欧拉型函数 $ \phi_A(n) $ 的极小阶。
• 提出统一方法，利用参数 $ \rho(p) = \sup_\nu f(p^\nu) $ 和 $ R = \prod_p (1-1/p)\rho(p) $，以确定极值增长速率。

提出的方法

• 对每个素数 $ p $，定义 $ \rho(p) = \sup_{\nu \geq 0} f(p^\nu) $，以捕捉函数在素数幂处的最大局部贡献。
• 引入乘积 $ R = \prod_p (1 - 1/p) \rho(p) $，其控制 $ f(n) $ 的渐近增长速率，假设收敛性或施加条件性收敛。
• 利用 $ \rho(p) $ 的条件（包括 $ \rho(p) \leq 1 + o(\log p / p) $）及存在指数 $ e_p = p^{o(1)} $ 使得 $ f(p^{e_p}) $ 近似 $ \rho(p) $），建立 $ L(f) = \limsup_{n \to \infty} f(n)/(\log\log n) $ 的上下界。
• 使用乘法除数系统 $ A $ 的概念，其中 $ A(n) $ 是 $ n $ 的约数的子集，通过递归卷积恒等式定义广义函数 $ \sigma_A(n) = \sum_{d \in A(n)} d $ 和 $ \phi_A(n) $。
• 将定理应用于 $ \sigma_A(n) $ 和 $ \phi_A(n) $，表明其极值阶依赖于 $ \rho(p) $ 与 $ R $ 的收敛性，特别关注单位除数与指数除数的情形。
• 通过 $ \prod_{p \in \mathcal{S}} (1 - 1/p) $ 隔离例外素数集 $ \mathcal{S} $（其中 $ \rho(p) = \infty $）的贡献，确保在 $ \sum_{p \in \mathcal{S}} 1/p < \infty $ 时收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义乘法数论函数的极大阶的一般形式是什么？
• RQ2 如何用局部上确界 $ \rho(p) $ 与全局乘积 $ R $ 来界定 $ f(n)/(\log\log n) $ 的上极限？
• RQ3 在什么条件下有 $ L(f) = e^{\gamma} R $，以及何时极大阶发散？
• RQ4 广义除数函数 $ \sigma_A(n) $ 与 $ \phi_A(n) $ 的极值阶如何依赖于除数系统 $ A $ 的结构？
• RQ5 $ \phi_A(n) $ 的极小阶是什么？它与 $ \inf_{\nu} \phi_A(p^\nu)/p^\nu $ 的关系如何？

主要发现

• 若 $ \sigma_A(p^{e_p}) \geq p^{e_p} + p^{e_p - 1} $ 对 $ e_p = p^{o(1)} $ 成立，则 $ \sigma_A(n) $ 的极大阶满足 $$ \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma_A(n)}{n \log\log n} = e^{\gamma} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sup_{\nu} \frac{\sigma_A(p^\nu)}{p^\nu} $$
• 对于标准除数函数 $ \sigma(n) $，此结果恢复经典结论 $ \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \log\log n} = e^{\gamma} $，因为 $ R = 1 $。
• 对于单位除数函数 $ \sigma^*(n) $，结果给出 $ \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma^*(n)}{n \log\log n} = e^{\gamma} \cdot \frac{6}{\pi^2} $，因为 $ R = \prod_p (1 - 1/p)(1 + 1/p) = \zeta(2)^{-1} = 6/\pi^2 $。
• 在满足 $ A $ 与 $ e_p $ 的条件下，$ \phi_A(n) $ 的极小阶为 $$ \liminf_{n \to \infty} \frac{\phi_A(n) \log\log n}{n} = e^{-\gamma} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1} \inf_{\nu} \frac{\phi_A(p^\nu)}{p^\nu} $$
• 对于 $ \phi(n) $ 与 $ \phi^*(n) $，此结果恢复已知结论 $ \liminf_{n \to \infty} \frac{\phi(n) \log\log n}{n} = e^{-\gamma} $，因为 $ \inf \phi(p^\nu)/p^\nu = 1 - 1/p $，且 $ \prod_p (1 - 1/p)^{-1} = \infty $，但对 $ p > 2 $ 的乘积收敛，而 $ (1 - 1/2)^{-1} $ 项通过 $ \mathcal{S} = \{2\} $ 处理。
• 即使 $ \rho(2) = \infty $，只要 $ \sum_{p \in \mathcal{S}} 1/p < \infty $，极小阶仍为有限值，表明在有限多个素数处发散不会破坏极值乘积的收敛性。