[论文解读] The maximum disjoint paths problem on multi-relations social networks

Bang Ye Wu|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文研究多关系社交网络中的最大不相交路径问题，其中路径必须为单色（同种边颜色）且内部不相交。证明了当 l ≥ 4 时长度受限路径的 NP-难性，为 l = 4 提出了一个时间复杂度为多项式的 2-近似算法，并为一般情况提供了精确算法与近似算法。

ABSTRACT

Motivated by applications to social network analysis (SNA), we study the problem of finding the maximum number of disjoint uni-color paths in an edge-colored graph. We show the NP-hardness and the approximability of the problem, and both approximation and exact algorithms are proposed. Since short paths are much more significant in SNA, we also study the length-bounded version of the problem, in which the lengths of paths are required to be upper bounded by a fixed integer $l$. It is shown that the problem can be solved in polynomial time for $l=3$ and is NP-hard for $l\geq 4$. We also show that the problem can be approximated with ratio $(l-1)/2+ε$ in polynomial time for any $ε>0$. Particularly, for $l=4$, we develop an efficient 2-approximation algorithm.

研究动机与目标

• 解决表示多关系社交网络的边着色图中的最大不相交路径问题。
• 分析在两点之间寻找最大数量的不相交单色路径的复杂度与可近似性。
• 研究路径长度受限的变体，其中路径长度受固定上界 l 的约束。
• 为大规模社交网络中的实际应用，设计高效近似与精确算法。
• 建立该问题可近似性的理论界限与计算困难性的界限。

提出的方法

• 证明了即使在 2-色图中，该判定问题也是 NP-完全的，并表明除非 NP=P，否则 Max CDP 无法在小于 2 的比值内进行近似。
• 为 c-色图提出一个 O(mn)-时间的 c-近似算法，并通过构造一个极值例子证明该比值的紧致性。
• 利用基于颜色子集的动态规划，设计了一个 O((m+n)c^n)-时间的精确算法。
• 对于长度受限版本（l-LCDP），证明当 l=3 时可通过图匹配技术在多项式时间内求解。
• 为 l=4 设计了一个 2-近似算法，时间复杂度为 O(p²(c²n + cm))，其中 p 为找到的路径数量。
• 采用局部搜索策略，通过限制在每种颜色图中仅考虑与 s 和 t 距离 ≤4 的节点，从而在大规模网络中实现高效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多关系社交网络中，最大不相交单色路径问题是否为 NP-难？
• RQ2 该问题能否在常数因子内近似？最佳可能的近似比是多少？
• RQ3 对于不同 l 值，长度受限变体（l-LCDP）的计算复杂度如何？
• RQ4 能否为小的固定 l 值（尤其是 l=4）设计高效的近似算法？
• RQ5 所提出的算法在实际中如何扩展，特别是在大规模社交网络中？

主要发现

• CDP 问题即使在 2-色图中也是 NP-完全的，且除非 NP=P，否则 Max CDP 无法在小于 2 的比值内近似。
• 为 c-色图提出一个 O(mn)-时间的 c-近似算法，且由于构造的极值例子，该比值是紧致的。
• 当 l=3 时，长度受限问题 l-LCDP 可通过图匹配技术在多项式时间内求解。
• 当 l≥4 时，l-LCDP 问题为 NP-难，且该问题存在一个时间复杂度为 (l−1)/2 + ε（对任意 ε>0）的多项式时间近似算法。
• 为 l=4 开发了一个 2-近似算法，时间复杂度为 O(p²(c²n + cm))，当 p 和 c 较小时运行时间为线性时间。
• 该算法具有局部性特征，仅关注每种颜色图中与 s 和 t 距离不超过 4 的节点，因此在大规模网络中具有高效性。