[论文解读] The maximum force in a column under constant speed compression

Vitaly A. Kuzkin, Mona M. Dannert|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Structural Response to Dynamic Loads参考文献 30被引用 11

一句话总结

本文通过解析方法推导了在恒定速度压缩下压杆所能承受的最大载荷，表明动态屈曲会导致载荷显著超过欧拉的静态临界载荷。对于存在初始缺陷的压杆，最大载荷强烈依赖于压缩速率和长细比，且与缺陷幅度呈对数依赖关系；而对于理想压杆，由于艾里函数的动力学行为，载荷表现出非单调行为并出现多个峰值，这意味着准静态试验必须采用极低的压缩速率以避免动态放大效应。

ABSTRACT

Dynamic buckling of an elastic column under compression at constant speed is investigated assuming the first-mode buckling. Two cases are considered: (i) an imperfect column (Hoff's statement), and (ii) a perfect column having an initial lateral deflection. The range of parameters, where the maximum load supported by a column exceeds Euler static force is determined. In this range, the maximum load is represented as a function of the compression rate, slenderness ratio, and imperfection/initial deflection. Considering the results we answer the following question: "How slowly the column should be compressed in order to measure static load-bearing capacity?" This question is important for the proper setup of laboratory experiments and computer simulations of buckling. Additionally, it is shown that the behavior of a perfect column having an initial deflection differ significantlys form the behavior of an imperfect column. In particular, the dependence of the maximum force on the compression rate is non-monotonic. The analytical results are supported by numerical simulations and available experimental data.

研究动机与目标

• 确定在恒定速度压缩下动态屈曲产生超过欧拉静态临界载荷的最大载荷的条件。
• 推导最大载荷关于压缩速率、长细比以及初始缺陷/初始挠度的解析表达式。
• 回答实际问题：压杆需以多慢的速率压缩才能测得其真实的静态承载能力？
• 比较存在初始缺陷的压杆（霍夫问题）与具有初始挠度的理想压杆的行为，突出其在动态响应上的根本差异。
• 为屈曲实验中实验室和仿真设置提供理论基础，尤其适用于微米和纳米尺度结构。

提出的方法

• 使用包含几何缺陷和惯性效应的四阶偏微分方程，建立恒定速度压缩下弹性压杆动态屈曲问题的数学模型。
• 应用渐近分析和艾里函数求解理想压杆在初始挠度下的线性化运动方程。
• 基于艾里函数的性质，推导出最大载荷关于相似数 Ω 和初始挠度 f₀ 的解析表达式（公式19）。
• 利用艾里函数导数的零点识别最大载荷发散的临界相似数 Ωₖ，表明在特定压缩速率下可能存在不稳定现象。
• 通过非线性霍夫方程的数值模拟验证解析结果，并与文献中的实验数据进行对比。
• 推导出压缩速率需满足的判据（不等式18），以确保系统趋近于准静态行为，从而保证测量精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在恒定速度压缩下，压杆所能承受的最大载荷是多少？其如何超过欧拉临界载荷？
• RQ2 最大载荷如何依赖于压缩速率、长细比以及初始缺陷或初始挠度？
• RQ3 为何具有初始挠度的理想压杆的行为与存在初始缺陷的压杆显著不同？
• RQ4 在何种压缩速率下系统趋近于准静态行为，从而可准确测量其静态承载能力？
• RQ5 非单调载荷响应对微米和纳米尺度屈曲实验与仿真设计有何影响？

主要发现

• 在恒定速度压缩下，存在初始缺陷的压杆的最大载荷超过欧拉临界载荷，当相似数 Ω 足够大时成立，且该最大载荷强烈依赖于压缩速率和长细比，对缺陷幅度呈对数依赖。
• 推导出一个解析公式（公式16），可准确预测动态状态下的最大载荷，且随着缺陷减小，预测精度不断提高。
• 对于具有初始挠度的理想压杆，最大载荷对相似数 Ω 表现出非单调依赖关系，在 Ωₖ ≈ (9π²/64)(2k−1)²（k = 1, 2, ...）处出现无穷多个峰值，这是由艾里函数导数零点引起的。
• 最大载荷的解析预测与数值模拟和实验数据高度吻合，证实了模型的有效性。
• 结果表明，动态效应可使最大载荷放大至欧拉载荷的100倍，尤其在细长、低速压缩的压杆中更为显著。
• 建立了判据（不等式18），用于确定实现准静态行为所需的最小压缩速率，从而在实验和仿真中准确测量静态承载能力。