[论文解读] The maximum forcing number of polyomino

Liqiong Xu, Yuqing Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明了初等多格形的最大强迫数等于其Clar数，从而实现了对该类图的最大强迫数的多项式时间计算。该结果通过将非初等多格形和六角系统分解为初等分量与固定键，推广至非初等情形，表明所有具有完美匹配的二分、2-连通、平面图的最大强迫数均可在多项式时间内计算。

ABSTRACT

The forcing number of a perfect matching $M$ of a graph $G$ is the cardinality of the smallest subset of $M$ that is contained in no other perfect matchings of $G$. For a planar embedding of a 2-connected bipartite planar graph $G$ which has a perfect matching, the concept of Clar number of hexagonal system had been extended by Abeledo and Atkinson as follows: a spanning subgraph $C$ of is called a Clar cover of $G$ if each of its components is either an even face or an edge, the maximum number of even faces in Clar covers of $G$ is called Clar number of $G$, and the Clar cover with the maximum number of even faces is called the maximum Clar cover. It was proved that if $G$ is a hexagonal system with a perfect matching $M$ and $K'$ is a set of hexagons in a maximum Clar cover of $G$, then $G-K'$ has a unique 1-factor. Using this result, Xu {\it et. at.} proved that the maximum forcing number of the elementary hexagonal system are equal to their Clar numbers, and then the maximum forcing number of the elementary hexagonal system can be computed in polynomial time. In this paper, we show that an elementary polyomino has a unique perfect matching when removing the set of tetragons from its maximum Clar cover. Thus the maximum forcing number of elementary polyomino equals to its Clar number and can be computed in polynomial time. Also, we have extended our result to the non-elementary polyomino and hexagonal system.

研究动机与目标

• 解决关于初等多格形的最大强迫数可多项式时间计算的猜想。
• 建立多格形中最大强迫数与Clar数之间的联系。
• 将最大强迫数的多项式时间可计算性推广至非初等多格形与六角系统。
• 基于初等分量与固定键的分解，提供一种计算框架。

提出的方法

• 证明：在初等多格形的最大Clar覆盖中移除所有四边形后，所得图具有唯一完美匹配。
• 利用该唯一性，证明初等多格形的最大强迫数等于其Clar数。
• 利用现有通过线性规划计算Clar数的算法，在多项式时间内计算最大强迫数。
• 对非初等多格形与六角系统应用分解技术，将其分解为初等分量与固定键。
• 利用非初等图的最大强迫数等于其各初等分量最大强迫数之和的性质。
• 利用O(|E| + |V|)算法识别具有完美匹配的二分图中的初等分量与固定键。

实验结果

研究问题

• RQ1 初等多格形的最大强迫数是否等于其Clar数？
• RQ2 初等多格形的最大强迫数是否可多项式时间计算？
• RQ3 最大强迫数与Clar数之间的等式关系是否可推广至非初等多格形与六角系统？
• RQ4 计算非初等多格形与六角系统最大强迫数的时间复杂度为何？

主要发现

• 初等多格形的最大强迫数等于其Clar数。
• 初等多格形的最大强迫数可多项式时间计算。
• 对于非初等多格形与六角系统，其最大强迫数等于其各初等分量最大强迫数之和。
• 非初等图分解为初等分量与固定键的操作可在O(|E| + |V|)时间内完成。
• 任何具有完美匹配的多格形或六角系统，其最大强迫数均可在多项式时间内计算。
• 该结果将先前关于初等六角系统的发现推广至所有具有完美匹配的二分、2-连通、平面图。