[论文解读] The maximum maximum of a martingale with given $n$ marginals

Pierre Henry‐Labordère, Jan Obłój+2 more|Oxford University Research Archive (ORA) (University of Oxford)|Mar 30, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 18

一句话总结

本文通过随机控制方法推导出的路径依不等式，建立了在有限个中间时间点具有给定边缘分布的连续局部鞅最大值分布的精确上界。该上界是最优的，且由 n 个边缘的 Azéma-Yor 嵌入实现，从而在波动率不确定条件下给出了看跌期权的最小超对冲成本。

ABSTRACT

We obtain bounds on the distribution of the maximum of a martingale with fixed marginals at finitely many intermediate times. The bounds are sharp and attained by a solution to $n$-marginal Skorokhod embedding problem in Obłój and Spoida [An iterated Azéma-Yor type embedding for finitely many marginals (2013) Preprint]. It follows that their embedding maximizes the maximum among all other embeddings. Our motivating problem is superhedging lookback options under volatility uncertainty for an investor allowed to dynamically trade the underlying asset and statically trade European call options for all possible strikes and finitely-many maturities. We derive a pathwise inequality which induces the cheapest superhedging value, which extends the two-marginals pathwise inequality of Brown, Hobson and Rogers [Probab. Theory Related Fields 119 (2001) 558-578]. This inequality, proved by elementary arguments, is derived by following the stochastic control approach of Galichon, Henry-Labordère and Touzi [Ann. Appl. Probab. 24 (2014) 312-336].

研究动机与目标

• 推导在有限时间点边缘分布固定的连续局部鞅最大值分布的精确上界。
• 证明该上界由 n 个边缘 Skorokhod 嵌入问题的解实现，从而识别出使最大值最大的嵌入方式。
• 提供一个路径依不等式，该不等式诱导出在波动率不确定条件下看跌期权的最小半静态超对冲策略。
• 通过随机控制方法将 Brown、Hobson 和 Rogers 的两边缘路径依不等式推广至 n 个边缘情形。
• 证明最优对冲策略由动态交易与欧式期权的静态头寸组成，其中拉格朗日乘子对应于最优静态对冲头寸。

提出的方法

• 应用 Possamaï 等人的对偶结果，将鲁棒超对冲问题重新表述为带有边缘约束的极小化-极大化变分问题。
• 使用随机控制技术显式求解所得优化问题，恢复 Azéma-Yor 嵌入的扩展最优性质。
• 推导一个路径依不等式（独立于随机分析），该不等式以中间边缘分布和最优对冲分量为条件，对最大过程进行上界控制。
• 将最优对冲构造为动态交易与所有行权价和 n 个到期日的欧式期权静态头寸的组合，其权重由控制解导出。
• 通过基本论证独立验证路径依不等式，不依赖随机分析工具。
• 通过证明当使用 Obłój 和 Spoida 的 n 个边缘 Skorokhod 嵌入时，不等式中等号成立，从而证明上界的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在 n 个中间时间点具有固定边缘分布的连续局部鞅，其最大值分布的最紧可能上界是什么？
• RQ2 在不假设特定概率模型的前提下，能否路径依地刻画波动率不确定条件下看跌期权的最优超对冲策略？
• RQ3 在鲁棒定价框架下，最优静态与动态对冲头寸如何与中间边缘分布相关联？
• RQ4 n 个边缘 Azéma-Yor 嵌入是否是所有具有给定边缘分布的嵌入中唯一使期望最大值最大的嵌入？
• RQ5 能否构造一个路径依不等式，使其诱导出具有多个到期日的看跌期权的最小超对冲成本？

主要发现

• 最大值分布的上界是精确的，且由 Obłój 和 Spoida（2013）提出的 n 个边缘 Skorokhod 嵌入解实现。
• 本文推导的路径依不等式诱导出在波动率不确定条件下看跌期权的最小半静态超对冲成本。
• 最优对冲策略由标的资产的动态交易和所有行权价及 n 个到期日的欧式期权的静态头寸组成。
• 对偶形式中的拉格朗日乘子恰好对应于标的期权的最优静态对冲头寸。
• 该上界在随机序意义下是最优的，即不存在其他具有相同边缘分布的局部鞅能实现更高的最大值分布。
• 通过证明任何对最优停止边界偏离都会严格违反路径依不等式，从而与解的最优性矛盾，证明了嵌入的最优性。