[论文解读] The maximum number of cliques in graphs without long cycles

Ruth Luo|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文将Kopylov关于不含长圈的边极大2-连通图的极值结果推广至任意固定大小的团数，证明在圈长小于 $k$ 的条件下，使边数最大的同一类极值图 $H_{n,k,2}$ 和 $H_{n,k,t}$ 同样使 $s$-团数最大化，并为 $C_k$-自由图与 $P_k$-自由图中的 $N_s(G)$ 提供紧致上界。

ABSTRACT

The Erdős--Gallai Theorem states that for $k\geq 3$ every graph on $n$ vertices with more than $\frac{1}{2}(k-1)(n-1)$ edges contains a cycle of length at least $k$. Kopylov proved a strengthening of this result for 2-connected graphs with extremal examples $H_{n,k,t}$ and $H_{n,k,2}$. In this note, we generalize the result of Kopylov to bound the number of $s$-cliques in a graph with circumference less than $k$. Furthermore, we show that the same extremal examples that maximize the number of edges also maximize the number of cliques of any fixed size. Finally, we obtain the extremal number of $s$-cliques in a graph with no path on $k$-vertices.

研究动机与目标

• 将Kopylov关于不含长圈的2-连通图的极值边结果推广至任意固定大小 $s$ 的团数。
• 在圈长小于 $k$ 的图中确定 $s$-团数的最大值，将Erdős–Gallai定理推广至团计数情形。
• 证明使边数最大的同一类极值图 $H_{n,k,2}$ 和 $H_{n,k,t}$ 在相同约束下也使 $s$-团数最大化。
• 为 $P_k$-自由图中的 $s$-团数推导极值界，建立广义的图论Turán型结果。

提出的方法

• 定义 $f_s(n,k,a) = inom{k-a}{s} + (n-k+a)inom{a}{s-1}$，其为在 $[1, \floor{(k-1)/2}]$ 上关于 $a$ 的凸函数，用于界定极值图 $H_{n,k,a}$ 中的 $s$-团数。
• 通过图的块-割树中块数的归纳法，证明圈长小于 $k$ 的图中 $N_s(G)$ 的上界。
• 应用 $(t+1)$-剥离与 $k$-闭包技术，分析无长圈图的结构，确保不形成长度为 $k+1$ 或更长的圈。
• 通过构造一个支配顶点，将 $P_k$-自由图转化为2-连通图，从而应用2-连通图的极值界。
• 采用受旗代数启发的剥离论证，表明为避免长圈，图的核心必须为完全图。
• 将所得团数与极值函数 $f_s(n,k,2)$ 和 $f_s(n,k,t)$ 进行比较，推导出紧致上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在圈长小于 $k$ 的2-连通 $n$-顶点图中，$s$-团数的最大值是多少？
• RQ2 是否使边数最大的同一类极值图 $H_{n,k,2}$ 和 $H_{n,k,t}$ 也使任意固定 $s$ 的 $s$-团数最大化？
• RQ3 在无 $k$ 个顶点的路径的图中，$s$-团数的极值数是多少？
• RQ4 Kopylov与Erdős–Gallai的极值边界能否推广至团计数情形？

主要发现

• 在圈长小于 $k$ 的2-连通 $n$-顶点图中，$s$-团数的最大值为 $\max\{f_s(n,k,2), f_s(n,k,t)\}$，其中 $t = \lfloor(k-1)/2\rfloor$。
• 使边数最大的极值图 $H_{n,k,2}$ 和 $H_{n,k,t}$ 同样使任意固定 $s$ 的 $s$-团数最大化。
• 对于 $P_k$-自由图，$s$-团数的最大值由 $\max\{f_s(n,k-1,1), f_s(n,k-1,t)\}$ 界定，其中 $t = \lfloor(k-2)/2\rfloor$。
• $C_k$-自由图中 $N_s(G)$ 的界是紧致的，且与边情形下相同的极值构造实现该界。
• $P_k$-自由图中 $N_s(G)$ 的界为 $h_s(n,k) = \frac{n}{k-1}\binom{k-1}{s}$，当 $n \geq k$ 时该界是紧致的。
• 证明技术依赖于 $t$-剥离与闭包操作，以在保持团数的同时防止长圈的形成。