[论文解读] The maximum $p$-Spectral Radius of Hypergraphs with $m$ Edges

Linyuan Lü|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

Graph theory and applications参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文解决了Nikiforov关于边数为$m$的$r$-均匀超图的$p$-谱半径最大值的猜想，证明当$m = \binom{s}{r}$时，$\rho_p(H)$的最大值被限定为$\frac{rm}{s^{r/p}}$，且当且仅当$H$是完全$r$-均匀超图$K_s^r$加上孤立顶点时取等。该结果完全解决了Frankl-Füredi超图Lagrangian猜想的主 case，适用于所有$r \geq 2$。

ABSTRACT

For $r\geq 2$ and $p\geq 1$, the $p$-spectral radius of an $r$-uniform hypergraph $H=(V,E)$ on $n$ vertices is defined to be $$ρ_p(H)=\max_{{\bf x}\in \mathbb{R}^n: \|{\bf x}\|_p=1}r \cdot \!\!\!\! \sum_{\{i_1,i_2,\ldots, i_r\}\in E(H)} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_r},$$ where the maximum is taken over all ${\bf x\in \mathbb{R}^n}$ with the $p$-norm equals 1. In this paper, we proved for any integer $r\geq 2$, and any real $p\geq 1$, and any $r$-uniform hypergraph $H$ with $m={s\choose r}$ edges (for some real $s\geq r-1$), we have $$λ_p(H)\leq \frac{rm}{s^{r/p}}.$$ The equality holds if and only if $s$ is an integer and $H$ is the complete $r$-uniform hypergraph $K^r_s$ with some possible isolated vertices added. Thus, we completely settled a conjecture of Nikiforov. In particular, we settled all the principal cases of the Frankl-Füredi's Conjecture on the Lagrangians of $r$-uniform hypergraphs for all $r\geq 2$.

研究动机与目标

• 解决$r$-均匀超图在固定边数下最大化$p$-谱半径这一长期存在的问题。
• 解决Nikiforov关于边数$m = \binom{s}{r}$时$p$-谱半径上界的猜想。
• 证实所有$r \geq 2$下Frankl-Füredi超图Lagrangian猜想的主 case。
• 为$p$-谱半径建立一个紧致的解析上界，统一并推广了已知的$p=1$、$p=r$和$p=\infty$的情形。
• 在给定边数约束下，完整刻画实现最大$p$-谱半径的超图结构。

提出的方法

• 通过顶点数的归纳法进行证明，通过移除一个顶点对超图进行递归分解，并分析剩余子超图的谱半径。
• 将$p$-谱半径$\rho_p(H)$定义为在单位$\ell^p$-球面上，齐次多项式$r \sum_{e \in E(H)} \prod_{i \in e} x_i$ 的最大值。
• 利用Hölder不等式将$\rho_p(H)$与$\rho_1(H)$关联，建立关键不等式$\rho_p(H) \leq \rho_1(H)^{1/p} (rm)^{1-1/p}$。
• 应用归纳假设，以$s$表示$\rho_1(H)$的上界，其中$m = \binom{s}{r}$，证明$\rho_1(H) \leq \frac{rm}{s^r}$。
• 证明等号成立当且仅当$s$为整数且超图$H$为完全$r$-均匀超图$K_s^r$，可能附带孤立顶点。
• 使用反函数$p_r^{-1}(m)$将边数映射到对应的$s$，从而构建最优超图结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于$r \geq 2$和$p \geq 1$，所有边数为$m$的$r$-均匀超图中，$p$-谱半径的最大值是多少？
• RQ2 当$m = \binom{s}{r}$且$s \geq r-1$为实数时，Nikiforov的猜想$\rho_p(H) \leq \frac{rm}{s^{r/p}}$是否成立？
• RQ3 当$m = \binom{s}{r}$且$s$为整数时，完全$r$-均匀超图$K_s^r$是否是唯一使$p$-谱半径最大的超图？
• RQ4 Frankl-Füredi超图Lagrangian猜想的主 case是否对所有$r \geq 2$都成立？
• RQ5 在何种条件下$p$-谱半径达到最大值，且该上界何时是紧的？

主要发现

• 对于所有$r \geq 2$和$p \geq 1$，边数为$m = \binom{s}{r}$的$r$-均匀超图，其$p$-谱半径的最大值被上界限定为$\frac{rm}{s^{r/p}}$。
• 当且仅当$s$为整数且超图$H$为完全$r$-均匀超图$K_s^r$（可能附带孤立顶点）时，该上界取等。
• 该上界是紧的，并完整刻画了极值超图的结构，从而在一般情形下完全解决了Nikiforov的猜想。
• 该结果证实了所有$r \geq 2$下Frankl-Füredi超图Lagrangian猜想的主 case，扩展了此前对$r=3$和$r \geq 4$的局部结果。
• 证明表明，当$m = \binom{s}{r}$时，$p$-谱半径仅由完全超图$K_s^r$实现最大值，其他任何超图均无法达到该上界。
• 通过将$p$-谱半径的上界与已知关系$\rho_p(H) \leq \rho_1(H)^{1/p} (rm)^{1-1/p}$结合，本文推导出最终的上界$\frac{rm}{s^{r/p}}$。