[论文解读] The Maximum Principle for Stochastic Global Stackelberg Differential Games

Alain Bensoussan, Shaokuan Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文在开环与闭环保证下，建立了随机全局斯塔克尔贝格微分博弈的最大值原理。推导了线性二次情形下的随机里卡蒂方程，并在适当假设下证明了解的存在性与唯一性，同时在闭环保证框架下通过前向-后向随机微分方程（FBSDEs）制定最优策略。

ABSTRACT

This paper is concerned with the maximum principle for both stochastic (global) open-loop and stochastic (global) closed-loop Stackelberg differential games. For the open-loop linear quadratic Stackelberg game, we consider the follower's Hamilton system as the leader's state equation, derive the related stochastic Riccati equation, and show the existence and uniqueness of the solution to the Riccati equation under some appropriate assumptions. For the closed-loop case, based on the arguments in \cite{PapavassiCruz79} for deterministic closed-loop Stackelberg game and the theory for controlled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs for short), we present the maximum principle for the leader's optimal strategy in such a game. We also study the closed-loop linear quadratic Stackelberg game as a comparison with the open-loop case, and derive the related Riccati equation which consists of FBSDEs.

研究动机与目标

• 在开环与闭环保证信息结构下，发展随机全局斯塔克尔贝格微分博弈的最大值原理。
• 通过将跟随者的哈密顿系统重新表述为领导者的状态方程，分析开环线性二次斯塔克尔贝格博弈。
• 在适当假设下，建立所推导的随机里卡蒂方程解的存在性与唯一性。
• 利用FBSDE理论将分析扩展至闭环保证情形，并推导领导者的最优策略。
• 通过基于FBSDE的里卡蒂方程，比较闭环保证与开环线性二次斯塔克尔贝格博弈。

提出的方法

• 在开环线性二次斯塔克尔贝格情形下，将跟随者的哈密顿系统重新表述为领导者的状态方程。
• 推导控制开环保证情形下最优控制的随机里卡蒂方程，并在适当条件下证明其解的存在性与唯一性。
• 应用受控前向-后向随机微分方程（FBSDEs）理论来建模闭环保证动力学。
• 利用FBSDE技术，为闭环保证斯塔克尔贝格博弈中领导者的最优策略建立最大值原理。
• 为闭环保证线性二次斯塔克尔贝格博弈构建一个结合FBSDEs的里卡蒂方程系统。
• 以Papavassiliou & Cruz（1979）关于确定性闭环保证博弈的研究结果为基础，构建随机扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将最大值原理扩展至开环与闭环保证框架下的随机全局斯塔克尔贝格微分博弈？
• RQ2 在开环线性二次斯塔克尔贝格情形下，什么条件能确保随机里卡蒂方程解的存在性与唯一性？
• RQ3 如何利用FBSDEs刻画闭环保证随机斯塔克尔贝格博弈中领导者的最优策略？
• RQ4 在随机设定下，开环与闭环保证线性二次斯塔克尔贝格博弈之间存在何种关系？
• RQ5 FBSDEs在构建闭环保证线性二次斯塔克尔贝格博弈里卡蒂方程中发挥何种作用？

主要发现

• 在适当假设下，开环线性二次斯塔克尔贝格博弈的随机里卡蒂方程具有唯一解。
• 在闭环保证情形下，领导者的最优策略通过基于受控FBSDEs推导的最大值原理得以刻画。
• 闭环保证线性二次斯塔克尔贝格博弈导致一个与前向-后向随机微分方程内在关联的里卡蒂方程系统。
• 该框架成功利用FBSDE技术将确定性闭环保证斯塔克尔贝格博弈理论扩展至随机设定。
• 分析揭示了随机斯塔克尔贝格博弈中开环与闭环保证解之间的结构相似性与差异性。
• 所推导的里卡蒂方程为两种信息结构下最优策略的系统计算提供了有效途径。