[论文解读] The maximum queue length for heavy tailed service times

Misja Nuyens|ArXiv.org|Aug 5, 2003

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明，在具有重尾、对数凸服务时间分布的 M/G/1 队列中，采用前台-后台（Foreground-Background, FB）服务调度策略时，一个忙碌周期内最大队列长度的尾部概率被指数形式有界，即 $\rho^n$，其中 $\rho$ 为系统负载。该界表明，在不稳定系统中，与 FIFO 相比，FB 能显著延迟缓冲区溢出时间，从而证明了在重尾流量下 FB 的优越性能。

ABSTRACT

In this paper we study the maximum queue length $M$ (in terms of the number of customers present) in a busy cycle in the M/G/1 queue. Assume that the service times have a logconvex density. For such (heavy-tailed) service-time distributions the Foreground Background service discipline is optimal. This discipline gives service to the customer(s) that have received the least amount of service so far. It is shown that under this discipline $M$ has an exponentially decreasing tail. From the behaviour of $M$ we obtain asymptotics of the maximum queue length $M(t)$ over the interval $(0,t)$ for $t o\infty$. These are applied to calculate the time to overflow of a buffer, both in stable and unstable queues.

研究动机与目标

• 分析具有重尾服务时间的 M/G/1 队列在忙碌周期内最大队列长度的行为。
• 研究服务调度策略（特别是前台-后台，即 FB）对最大队列长度尾部行为的影响。
• 在 FB 调度策略下，推导最大队列长度 $M$ 的尾部概率 $P(M > n)$ 的指数上界。
• 比较具有重尾服务时间的稳定与不稳定 M/G/1 队列中，FB 与 FIFO 调度策略的缓冲区溢出时间。
• 证明在具有重尾服务时间的不稳定系统中，FB 调度策略可显著延迟缓冲区溢出。

提出的方法

• 通过比较具有不同服务时间分布的两个 M/G/1 FB 队列，使用耦合论证来分析最大队列长度的分布差异。
• 引入一种辅助服务调度策略 FB*，其中忙碌周期的首名顾客仅在无其他顾客时才被服务，以推导出一个关键的随机不等式。
• 利用队列长度过程的再生结构，将有限区间内的最大队列长度与忙碌周期内的最大值联系起来。
• 通过反变换抽样对服务时间进行耦合，确保在阈值 $p$ 之前行为一致，从而实现队列长度过程的随机支配。
• 利用不等式 $P(M > n) \leq \rho^n$ 推导出当 $t \to \infty$ 时，$M(t)$（即 $[0,t]$ 区间内最大队列长度）的渐近行为。
• 通过将不稳定队列与具有原始服务时间分布截断并指数倾斜版本的稳定队列进行耦合，将结果推广至不稳定队列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有重尾、对数凸服务时间密度的 M/G/1 队列中，采用 FB 调度策略时，最大队列长度的尾部行为如何？
• RQ2 在重尾服务时间分布下，FB 调度与 FIFO 相比，缓冲区溢出时间有何差异？
• RQ3 能否推导出一个与服务时间分布具体形式无关的最大队列长度尾部的指数上界？
• RQ4 在具有重尾服务时间的不稳定 M/G/1 FB 队列中，缓冲区溢出时间如何随系统规模变化？
• RQ5 对数凸性假设对 FB 调度性能界限的影响是什么？

主要发现

• 在具有对数凸服务时间密度的 M/G/1 FB 队列中，最大队列长度 $M$ 的尾部满足 $P(M > n) \leq \rho^n$，其中 $\rho$ 为系统负载。
• 该界与服务时间分布的具体形式无关，适用于所有具有对数凸密度的分布，包括重尾（如帕累托分布、形状参数 $\beta < 1$ 的威布尔分布）和轻尾（如伽玛分布）分布。
• 对于系统负载 $\rho = \infty$ 的不稳定队列，若到达率较低，缓冲区溢出时间可能极长；例如，当 $\lambda = 0.01$ 时，$t = 10^{40}$ 时溢出概率小于 0.02。
• 耦合论证表明 $M_F(t) \leq_{st} M_G(t) + K_p(t)$，其中 $K_p(t)$ 是速率为 $\lambda(1-p)$ 的泊松过程，从而实现不同服务时间分布系统之间的比较。
• 在帕累托服务密度 $f(x) = 1/(x+1)^2$ 的示例中，当 $\lambda = 0.01$ 时，缓冲区大小 $d=1000$ 的系统，其溢出时间以高概率超过 $10^{40}$，原因在于截断并指数倾斜后的服务时间分布保持稳定。
• 结果证实，对于具有重尾服务时间的不稳定系统，FB 调度策略可显著延长缓冲区溢出时间，其性能远超 FIFO。