[论文解读] The McKay correspondence via Floer theory

Mark McLean, Alexander F. Ritter|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用 8

一句话总结

该论文通过弗洛尔理论建立了孤立奇点的广义 McKay 对应关系，证明了正辛同调 SH₊(Y) 的秩等于有限子群 G ⊂ SL(n, ℂ) 的共轭类数目，且共轭类上的年龄分次与 SH₊(Y) 上的 Conley-Zehnder 指数分次相匹配。通过全辛同调的消失性结果，SH₊(Y) 与普通上同调 H(Y) 之间的同构关系确认了广义 McKay 对应关系。

ABSTRACT

We prove the generalised McKay correspondence for isolated singularities using Floer theory. Given an isolated singularity \C^n/G for a finite subgroup G in SL(n,\C) and any crepant resolution Y, we prove that the rank of positive symplectic cohomology SH_+(Y) is the number of conjugacy classes of G, and that twice the age grading on conjugacy classes is the \Z-grading on SH_+(Y) by the Conley-Zehnder index. The generalised McKay correspondence follows as SH_+(Y) is naturally isomorphic to ordinary cohomology H(Y), due to a vanishing result for full symplectic cohomology. In the Appendix we construct a novel filtration on the symplectic chain complex for any non-exact convex symplectic manifold, which yields both a Morse-Bott spectral sequence and a construction of positive symplectic cohomology.

研究动机与目标

• 通过辛拓扑建立孤立奇点的广义 McKay 对应关系。
• 将共形解析展开 Y 上的正辛同调 SH₊(Y) 的结构与有限子群 G ⊂ SL(n, ℂ) 的共轭类联系起来。
• 证明 SH₊(Y) 上的 Conley-Zehnder 指数分次与共轭类上的年龄分次精确对应。
• 通过全辛同调的消失性结果，证明 SH₊(Y) 自然同构于普通上同调 H(Y)。
• 为非精确凸辛流形构造一种新的辛链复形过滤，以实现 Morse-Bott 族谱序列与正辛同调的构建。

提出的方法

• 利用弗洛尔理论分析奇点 ℂⁿ/G 的共形解析展开 Y 的辛拓扑。
• 应用 Conley-Zehnder 指数在 SH₊(Y) 上定义 Hamilton 作用轨道的 ℤ-分次。
• 通过辛不变量建立 G 的共轭类上的年龄分次与 Conley-Zehnder 指数分次之间的对应关系。
• 利用全辛同调的消失性结果，推导出 SH₊(Y) ≅ H(Y)，从而将辛同调与代数拓扑联系起来。
• 为非精确凸辛流形的辛链复形引入一种新过滤，以构建 SH₊(Y) 并推导出 Morse-Bott 族谱序列。
• 利用族谱序列分析 SH₊(Y) 的结构，并将其与 G 的群论数据联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过辛弗洛尔理论而非代数几何证明广义 McKay 对应关系？
• RQ2 SH₊(Y) 上的 Conley-Zehnder 指数分次与 G 的共轭类上的年龄分次之间的确切关系是什么？
• RQ3 为何正辛同调 SH₊(Y) 的秩等于 G 的共轭类数目？
• RQ4 全辛同调的消失性为何能推出 SH₊(Y) ≅ H(Y)？
• RQ5 对辛链复形的新过滤是否能同时产生 Morse-Bott 族谱序列并实现 SH₊(Y) 的构造？

主要发现

• 正辛同调 SH₊(Y) 的秩等于 G 的共轭类数目。
• SH₊(Y) 上的 Conley-Zehnder 指数分次与 G 的共轭类上年龄分次精确对应，且为后者的两倍。
• 由于全辛同调的消失性，SH₊(Y) 自然同构于普通上同调 H(Y)。
• 对辛链复形的新过滤产生了 Morse-Bott 族谱序列，并提供了 SH₊(Y) 的构造方法。
• 同构 SH₊(Y) ≅ H(Y) 在辛几何设定下确认了广义 McKay 对应关系。
• 该对应关系对任意满足 G ⊂ SL(n, ℂ) 的有限群 G 的奇点 ℂⁿ/G 的共形解析展开 Y 均成立。