[论文解读] The mean curvature flow of submanifolds of high codimension

Charles M. Baker|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 12

一句话总结

该论文证明，若欧氏空间中高余维子流形的第二基本形式与平均曲率向量之比被一个仅依赖于维数的显式常数所控制，则其在平均曲率流下会在有限时间内演化为一个圆点。通过曲率夹紧估计、梯度估计以及哈密顿型爆破分析，作者证明了长时间存在性与球面对称收敛性，将赫斯肯的经典超曲面结果推广至更高余维情形。

ABSTRACT

The study of the mean curvature flow from the perspective of partial differential equations began with Gerhard Huisken's pioneering work in 1984. Since that time, the mean curvature flow of hypersurfaces has been a lively area of study. Although Huisken's seminal paper is now just over twenty-five years old, the study of the mean curvature flow of submanifolds of higher codimension has only recently started to receive attention. The mean curvature flow of submanifolds is the main object of investigation in this thesis, and indeed, the central results we obtain can be considered as high codimension analogues of some early hypersurface theorems. The result of Huisken's 1984 paper roughly says that convex hypersurfaces evolve under the mean curvature flow to round points in finite time. Here we obtain the result that if the ratio of the length of the second fundamental form to the length of the mean curvature vector is bounded (by some explicit constant depending on dimension but not codimension), then the submanifold will evolve under the mean curvature flow to a round point in finite time. We investigate evolutions in flat and curved backgrounds, and explore the singular behaviour of the flows as the first singular time is approached.

研究动机与目标

• 将赫斯肯关于凸超曲面的有限时间圆化结果推广至任意余维子流形。
• 建立曲率夹紧条件，使得高余维子流形能光滑演化至一点。
• 分析平坦与非平坦背景空间中子流形平均曲率流的奇点行为。
• 通过哈密顿的爆破程序与单调性公式对 I 型奇点进行分类。
• 利用重正化与紧致性论证，在极限流上证明渐近球面对称收敛。

提出的方法

• 利用活动标架与向量丛上的联络，推导高余维情形下第二基本形式与平均曲率的演化方程。
• 应用施瓦茨与希尔伯特空间理论，证明平均曲率流完全非线性抛物系统在短时间内的存在性。
• 建立迹零第二基本形式的夹紧估计，以控制曲率集中。
• 对平均曲率使用梯度估计，以控制曲率增长并确保长时间存在性。
• 通过在最大曲率点对流进行重正化，应用哈密顿的爆破程序，提取极限解。
• 利用赫斯肯的单调性公式与考茨迪定理，证明极限流为全脐，因而为球面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率夹紧条件下，高余维子流形在平均曲率流下会演化为圆点？
• RQ2 在如球面等曲率环境空间中，平均曲率流的行为如何？
• RQ3 高余维平均曲率流的奇点模型能否被分类，特别是对 I 型奇点？
• RQ4 子流形趋近灭绝时的渐近形状为何？
• RQ5 用于超曲面的技术在多大程度上可推广至更高余维子流形？

主要发现

• 若第二基本形式的 $L^2$-范数与平均曲率向量的 $L^2$-范数之比被一个仅依赖于维数的显式常数所控制，则子流形将在有限时间内演化为圆点。
• 迹零第二基本形式满足梯度估计，表明其范数相对于平均曲率衰减，从而确保曲率集中得到控制。
• 归一化平均曲率流在趋近灭绝时间时光滑收敛至一个圆球面。
• 在爆破极限中，重正化流收敛至一个全脐子流形，由于平均曲率非零，该子流形必为球面。
• 极限解满足 $|\accentset{\circ}{h}|^2 = 0$，确认极限下具有球面对称性。
• 通过考茨迪定理及极限流具有常平均曲率与零迹零第二基本形式的事实，奇点模型被分类为球面。