[论文解读] The Mean Curvature of the Second Fundamental Form of a hypersurface

Stefan Haesen, Steven Verpoort|ArXiv.org|Sep 13, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文引入了半黎曼流形中超曲面的第二基本形式的平均曲率（$H_{\text{II}}$）概念，推导其首次变分并用于刻画外蕴超球面。主要贡献在于通过第二基本形式的面积泛函的几何与变分分析，证明具有常数 $H_{\text{II}}$ 或特定曲率关系的超曲面为外蕴超球面，尤其在空间形式与爱因斯坦流形中成立。

ABSTRACT

An expression for the first variation of the area functional of the second fundamental form is given for a hypersurface in a semi-Riemannian space. The concept of the "mean curvature of the second fundamental form" is then introduced. Some characterisations of extrinsic hyperspheres in terms of this curvature are given.

研究动机与目标

• 为半黎曼流形中超曲面定义并分析第二基本形式的平均曲率 $H_{\text{II}}$ 作为变分量。
• 通过研究第二基本形式面积泛函的首次变分，探讨其外蕴几何性质。
• 利用 $H_{\text{II}}$ 与曲率不变量刻画空间形式、爱因斯坦流形及三维流形中的外蕴超球面。
• 建立测地超球面在第二基本形式下面积等于欧几里得超球面面积的条件。
• 推导流形为局部平坦或外曲率张量为零的必要与充分曲率不变量条件（标量曲率、里奇张量、黎曼张量）。

提出的方法

• 定义面积泛函 $\text{Area}_{\text{II}}(M) = \bigint \nolimits_M \big|\text{det}(A)\big|^{1/2} d\text{Vol}$，其中 $A$ 为形状算子，用于测量第二基本形式几何下的超曲面面积。
• 在法向形变下推导 $\text{Area}_{\text{II}}(M)$ 的首次变分，从而定义 $H_{\text{II}}$ 为该面积变化率。
• 建立第一与第二基本形式之间联络的比较公式，以关联几何量。
• 对测地超球面的 $\text{Area}_{\text{II}}$ 进行关于半径 $r$ 的幂级数展开，涉及曲率不变量如标量曲率 $\bar{S}$、里奇张量 $\bar{\text{Ric}}$ 与黎曼张量 $\bar{R}$。
• 将展开式应用于黎曼流形 $\bar{M}$ 中的测地超球面，并将面积与欧几里得超球面面积相等，以导出曲率约束。
• 通过外曲率张量与博赫纳张量分析，在附加几何假设（如共形平坦性、凯勒结构）下证明局部平坦性。

实验结果

研究问题

• RQ1 以第二基本形式测量的面积泛函的首次变分为何？它如何定义新的平均曲率 $H_{\text{II}}$？
• RQ2 在空间形式或爱因斯坦流形中，哪些超曲面满足 $H_{\text{II}} = C \sqrt{K}$ 或 $H_{\text{II}} - K_{\text{II}}$ 的符号恒定？
• RQ3 在黎曼流形 $\bar{M}$ 的何种曲率条件下，其所有测地超球面（以 $\text{Area}_{\text{II}}$ 测量）的面积等于欧几里得超球面的面积？
• RQ4 当 $\text{Area}_{\text{II}}(\text{geodesic hypersphere}) = r^{m/2} \alpha_m$ 时，何时可推出 $\bar{M}$ 局部平坦？
• RQ5 共形平坦性、凯勒结构或积结构等假设如何影响在面积等式条件下 $\bar{M}$ 局部平坦的结论？

主要发现

• 在黎曼流形 $\bar{M}$ 中，以第二基本形式测量的测地超球面面积，其关于半径 $r$ 的渐近展开式包含曲率不变量：$\text{Area}_{\text{II}}(\bar{G}_n(r)) = r^{m/2} \alpha_m \left[1 - r^2 \left(\frac{\bar{S}}{3(m+1)}\right)_{(n)} + r^4 \left( \cdots \right) + \mathcal{O}(r^5) \right]$。
• 若对所有 $r$ 与 $n$ 有 $\text{Area}_{\text{II}}(\bar{G}_n(r)) = r^{m/2} \alpha_m$，则标量曲率 $\bar{S} = 0$ 且 $\|\bar{R}\|^2 = \|\bar{\text{Ric}}\|^2$。
• 在附加假设下（如维数 $\leq 5$，里奇张量半正/负定，共形平坦性（维数 ≠ 6），凯勒结构（维数 $\leq 5$），或积结构），流形 $\bar{M}$ 局部平坦。
• 当 $\dim \bar{M} \leq 5$ 时，曲率约束蕴含 $\|\bar{W}\|^2 = 0$（外曲率张量为零），从而推出 $\bar{R} = 0$。
• 关系式 $\|\bar{W}\|^2 = \frac{m-5}{m-1}\|\bar{R}\|^2 \leq 0$ 在 $m \leq 4$ 时推出 $\bar{R} = 0$，从而在低维情形证明局部平坦性。
• 当 $\dim \bar{M} \geq 7$ 时，共形平坦性与曲率约束将导致矛盾，除非 $\|\bar{R}\|^2 = 0$，再次推出 $\bar{R} = 0$。