[论文解读] The Mean Curvature of Transverse K\"ahler Foliations

Seoung Dal Jung, Ken Richardson|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文研究了横截凯勒叶状结构中的平均曲率1-形式及其全纯/反全纯分量，表明类 $[\partial_B \kappa^{0,1}_B]$ 的消失是基本 Dolbeault 上同调中 Hard Lefschetz 定理成立的充要条件。研究发现，除非叶状结构是紧致的，否则 Hodge 金刚石结构会失效，并确定了两个关键不变量：Alvarez 类 $[\kappa_B]$ 和 $\partial_B\partial_B$-类 $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$，它们分别控制上同调对称性以及 Lefschetz 性质的有效性。

ABSTRACT

We study properties of the mean curvature one-form and its holomorphic and antiholomorphic cousins on a transverse K\"ahler foliation. If the mean curvature of the foliation is automorphic, then there are some restrictions on basic cohomology similar to that on K\"ahler manifolds, such as the requirement that the odd basic Betti numbers must be even. However, the full Hodge diamond structure does not apply to basic Dolbeault cohomology unless the foliation is taut.

研究动机与目标

• 理解平均曲率1-形式及其全纯/反全纯分量在横截凯勒叶状结构中的作用。
• 确定标准凯勒上同调结构（如 Hard Lefschetz 定理和 Hodge 对偶性）在基本 Dolbeault 上同调中成立的条件。
• 识别控制非紧致叶状结构的基本上同调中 Hodge 对称性与 $\partial\bar\partial$-引理失效或存在的不变量。
• 明确横截凯勒叶状结构的基本上同调满足类似于凯勒流形上性质的条件。

提出的方法

• 利用度量化度量和横截全纯结构，定义平均曲率1-形式 $\kappa_B$ 及其横截 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 分量 $\kappa^{1,0}_B$、$\kappa^{0,1}_B$。
• 证明 $\kappa^{1,0}_B$ 和 $\kappa^{0,1}_B$ 是 $\partial_B$-闭的，并在 $H^{1,0}_{\partial_B}(F)$ 和 $H^{0,1}_{\partial_B}(F)$ 中代表良定义的上同调类，且与度量选择无关。
• 引入类 $\eta = [\partial_B\kappa^{0,1}_B] \in H^{1,1}_{\partial_B\partial_B}(F)$，表明其在度量化且相容的横截度量选择下保持不变。
• 以横截 Dolbeault 拉普拉斯算子和曲率项表示基本拉普拉斯算子 $\Delta_B$ 以及 $\Box_B$、$\Box_{\bar B}$ 算子的显式公式。
• 分析 $\kappa_B$ 的自守性条件，表明 $\kappa_B$ 是自守的当且仅当 $H^{1,0} = (\kappa^{0,1}_B)^\#$ 是一个横截全纯向量场。
• 通过显式例子（例如在 $T^3_A \times T^3_A$ 上）比较不同横截复结构下的上同调行为，包括紧致与非紧致、凯勒与非凯勒情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在横截凯勒叶状结构中，Hard Lefschetz 定理在基本 Dolbeault 上同调中成立的条件是什么？
• RQ2 在基本上同调中，$\partial_B\partial_B$-类 $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ 在决定 $\partial\bar\partial$-引理和 Hodge 对称性有效性方面起什么作用？
• RQ3 Alvarez 类 $[\kappa_B]$ 的非零性如何影响基本上同调的结构，特别是奇数贝蒂数的奇偶性？
• RQ4 是否可以通过选择度量使平均曲率1-形式恒为零？需要满足什么条件？
• RQ5 在紧致与非紧致横截凯勒叶状结构之间，基本 Dolbeault 上同调的上同调性质有何不同？

主要发现

• Hard Lefschetz 定理在横截凯勒叶状结构的基本上同调中成立，当且仅当类 $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ 消失。
• 类 $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ 非平凡当且仅当在 $\partial_B\kappa^{0,1}_B$ 上 $\partial_B\partial_B$-引理不成立，且该类在度量化和相容横截度量选择下保持不变。
• 对于非紧致横截凯勒叶状结构，奇数基本 Betti 数不必为偶数，且基本 Dolbeault Betti 数 $h^{r,s}_B$ 不满足 $h^{r,s}_B = h^{s,r}_B$ 或 $h^{r,s}_B = h^{n-s,n-r}_B$，从而破坏 Hodge 对称性。
• $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ 类为平凡当且仅当平均曲率 $\kappa_B$ 是自守的，即其流保持横截全纯结构。
• 在例 9.2 中，构造了一个非紧致横截凯勒叶状结构，其 $[\partial_B\kappa^{0,1}_B]$ 非平凡，而同一流形上不同的横截复结构则导致该类为平凡，表明该类依赖于复结构。
• 该例子表明，即使对于横截凯勒叶状结构，偶数阶基本上同调群也可能消失（例如 $h^2_B = 0$），这与辛流形的情形不同。