[论文解读] The mean-square of Dirichlet L-functions

J. Brian Conrey|ArXiv.org|Aug 20, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文为模 $q$ 的本原狄利克雷 $L$-函数在临界线处的均方建立了渐近公式，引入相对于 $1/\log q$ 较小的平移 $\alpha, \beta$。通过使用函数方程、正交关系以及特征和的显式公式，本文验证了 [CFKRS] 随机矩阵框架的预测，表明主项大小为 $\phi^*(q)$，误差项大小为 $q^{1/2+\epsilon}$，并首次发现了当 $p$ 和 $h$ 为素数时 $S(p,h)$ 的新型对称性关系。

ABSTRACT

We verify the conjecture of [CFKRS] for the mean square near the critical point of Dirichlet L-functions for a composite modulus q. We also prove a kind of reciprocity formula when the second moment for a prime modulus is twisted by a character evaluated at a different prime.

研究动机与目标

• 推导模 $q$ 的本原特征下，本原狄利克雷 $L$-函数 $L(1/2+\alpha,\chi)L(1/2+\beta,\overline{\chi})$ 的均方渐近公式，其中平移量 $\alpha, \beta \ll 1/\log q$。
• 解决海斯-布朗对所有特征的结果（其中包含一个 $q^{1/2+\epsilon}$ 主项）与 CFKRS 对本原族的预测（仅期望 $\phi^*(q)$ 主项和 $q^{1/2+\epsilon}$ 误差）之间的差异。
• 建立一个连接 $S(p,h)$ 与 $S(h,-p)$ 的对称公式，其中 $p,h$ 为素数，揭示特征和行为中更深层的结构。

提出的方法

• 利用 $L$-函数的函数方程和高斯和，推导 $S_q^+(s,\alpha,\beta)$ 的函数方程。
• 对本原特征应用正交关系，将 $\chi$ 上的求和转化为以 $q$ 的因数 $d$ 为指标的求和，权重为 $\phi(d)\mu(q/d)$。
• 使用显式公式 $T(k) = k\log k + Ak + B\sqrt{k} + \sum c_\ell k^{-\ell/2} + O(k^{-L})$ 展开 $q$ 的因数 $k$ 上的求和，其中 $A = \gamma - \log 8\pi$，$B = 2\zeta(1/2)^2$。
• 应用函数方程将 $L(1/2+\alpha,\chi)$ 与 $L(1/2-\alpha,\overline{\chi})$ 关联，实现解析延拓并进行渐近评估。
• 对特征和展开进行细致的渐近分析，分离出本原特征的贡献，并通过容斥原理处理非本原项。
• 推导出 $S(p,h) = \sum_{\chi^* \mod p} |L(1/2,\chi)|^2 \chi(h)$ 的对称公式，表明 $S(p,h) = \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{h}} S(h,-p) + \frac{p}{\sqrt{h}}(\log\frac{p}{h} + A) + \frac{B}{2}\sqrt{p} + O(h + \log p + \sqrt{p/h}\log p)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 本原狄利克雷 $L$-函数在 $s=1/2$ 附近、具有小平移 $\alpha, \beta$ 的均方是否与 CFKRS 预测一致，即主项为 $\phi^*(q)$，误差为 $O(q^{1/2+\epsilon})$？
• RQ2 为何海斯-布朗对模 $q$ 所有特征的结果中包含一个 $q^{1/2+\epsilon}$ 主项，而本原族中却没有？这如何影响渐近结构？
• RQ3 能否为 $S(p,h) = \sum_{\chi^* \mod p} |L(1/2,\chi)|^2 \chi(h)$（$p,h$ 为素数）推导出一个对称型公式？它揭示了特征和的何种对称性？
• RQ4 当 $h$ 取值至 $p^{2/3}$ 时，$S(p,h)$ 的精确渐近行为是什么？其与 $S(h,-p)$ 的依赖关系如何？
• RQ5 非本原特征的贡献与高斯和恒等式如何影响均方最终渐近公式的结构？

主要发现

• 本原狄利克雷 $L$-函数的均方满足 $$ \sum_{\chi^* \mod q} L(1/2+\alpha,\chi)L(1/2+\beta,\overline{\chi}) = \frac{\phi^*(q)}{2}(\zeta_q(1+\alpha+\beta) + X^+(q,\alpha,\beta)\zeta_q(1-\alpha-\beta)) + O(q^{1/2+\epsilon}) $$ 确认了 CFKRS 的预测。
• 当 $q = p_1 p_2$ 且 $p_1, p_2 \sim \sqrt{q}$ 时，误差项为 $O(q^{1/4})$，远小于 $q^{1/2+\epsilon}$，表明误差增长具有结构依赖性。
• 对于素数 $p,h$，和 $S(p,h) = \sum_{\chi^* \mod p} |L(1/2,\chi)|^2 \chi(h)$ 满足 $$ S(p,h) = \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{h}} S(h,-p) + \frac{p}{\sqrt{h}}(\log\frac{p}{h} + A) + \frac{B}{2}\sqrt{p} + O(h + \log p + \sqrt{p/h}\log p) $$ 揭示了对称性结构。
• 主项 $\phi^*(q)$ 得到确认，且 $\phi^*(q)$ 与 $q^{1/2+\epsilon}$ 误差项之间不存在中间项，这与海斯-布朗对所有特征的结果形成对比。
• 常数 $A = \gamma - \log 8\pi = 2\gamma - \log 2\pi + \Gamma'(1/2)/\Gamma(1/2)$ 和 $B = 2\zeta(1/2)^2$ 自然地出现在渐近展开中。
• 当 $h = O(\sqrt{p})$ 时，$\frac{p}{\sqrt{h}}\log\frac{p}{h}$ 项占主导；当 $h$ 较大时，$S(h,-p)$ 可达 $h\log h$，使第一项占主导。