[论文解读] The mean volume as a quality measure for polyhedra and meshes

Dimitris Vartziotis, Benjamin Himpel|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 1

一句话总结

本文引入了平均体积函数作为混合网格中多面体单元的质量度量，通过三角剖分平均化推广了有符号体积。通过在单位球面上对这一函数进行梯度上升优化，该方法将四面体、六面体、棱柱、锥体和八面体等单元正则化为理想形状，从而实现一种快速、高效的有限元法几何单元变换（GETMe）方案。

ABSTRACT

The signed volume function for polyhedra can be generalized to a mean volume function for volume elements by averaging over the triangulations of the underlying polyhedron. If we consider these up to translation and scaling, the resulting quotient space is diffeomorphic to a sphere. The mean volume function restricted to this sphere is a quality measure for volume elements. We show that, the gradient ascent of this map regularizes the building blocks of hybrid meshes consisting of tetrahedra, hexahedra, prisms, pyramids and octahedra, that is, the optimization process converges to regular polyhedra. We show that the (normalized) gradient flow of the mean volume yields a fast and efficient optimization scheme for the finite element method known as the geometric element transformation method (GETMe). Furthermore, we shed some light on the dynamics of this method and the resulting smoothing procedure both theoretically and experimentally.

研究动机与目标

• 开发一种针对混合网格中多面体单元（包括四面体、六面体、棱柱、锥体和八面体）的鲁棒质量度量。
• 解决由于多面体单元畸变导致有限元模拟中网格质量下降的挑战。
• 建立一种基于平均体积函数优化的几何框架，实现网格平滑并收敛至正多面体。
• 将几何单元变换方法（GETMe）形式化为平均体积在微分同胚于球面的商空间上的梯度流。

提出的方法

• 通过对其边界所有可能三角剖分的平均，将多面体的有符号体积推广为平均体积。
• 定义在平移和缩放下的多面体商空间，该空间微分同胚于球面，从而支持几何优化。
• 将平均体积函数限制在该球面上，以定义体积单元的光滑质量度量。
• 对平均体积函数应用梯度上升，以将网格单元正则化为理想形状。
• 推导平均体积函数的归一化梯度流，作为混合网格的快速高效平滑方案。
• 从理论和实验两方面实现并分析所得的几何单元变换方法（GETMe）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将多面体的有符号体积推广为其实体单元的质量度量？
• RQ2 在平移和缩放下的多面体空间具有何种几何结构？其与网格质量优化有何关联？
• RQ3 平均体积函数的梯度上升能否将多种多面体单元（四面体、六面体、棱柱、锥体、八面体）正则化为理想形状？
• RQ4 平均体积函数的归一化梯度流如何生成一种高效且有效的网格平滑方案，适用于有限元方法？
• RQ5 所得到的几何单元变换（GETMe）方法在理论和实验上的动态特性是什么？

主要发现

• 在平移和缩放下的多面体商空间微分同胚于球面，为优化提供了自然的黎曼流形。
• 平均体积函数的梯度上升对所有标准网格单元（包括四面体、六面体、棱柱、锥体和八面体）均收敛至正多面体。
• 平均体积函数的归一化梯度流产生一种快速高效的平滑方案，可直接作为几何单元变换方法（GETMe）应用。
• 该方法通过利用平均体积函数在球面上的内在几何结构，确保收敛至最优形状。
• 理论与实验分析证实，GETMe方案在提升有限元模拟中网格质量方面具有鲁棒性和高效性。