[论文解读] The Meniscus on the Outside of a Circular Cylinder from Nanometer to Macroscopic Scales

Yanfei Tang, Shengfeng Cheng|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

Polymer Surface Interaction Studies被引用 1

一句话总结

本研究通过解析和数值方法求解了小垂直圆柱体在圆柱形容器中液面形成的弯月面的Young-Laplace方程，发现当容器较小时（L ≪ κ⁻¹），弯月面高度Δh与R ln(L/R)成正比；当容器较大时（L ≫ κ⁻¹），Δh与R ln(κ⁻¹/R)成正比。这两种行为之间的过渡发生在L ≈ 0.4κ⁻¹至4κ⁻¹之间，且推导出的近似解析表达式可准确预测从纳米尺度到宏观尺度的Δh。

ABSTRACT

We systematically study the meniscus on the outside of a small circular cylinder vertically immersed in a liquid bath in a cylindrical container. The cylinder has a radius $R$ much smaller than the capillary length $\kappa^{-1}$ and the container with radius $L$ is coaxial with the cylinder. In the limit of $L \ll \kappa^{-1}$ we analytically solve the general Young-Laplace equation governing the meniscus profile and show that the meniscus height, $\Delta h$, scales approximately with $R\ln (L/R)$. In the opposite limit $L \gg \kappa^{-1}$, $\Delta h$ becomes independent of $L$ and scales with $R\ln (\kappa^{-1}/R)$. We implement a numerical scheme to solve the general Young-Laplace equation for an arbitrary $L$ and demonstrate the crossover of the meniscus profile between these two limits. The crossover region has been determined to be roughly $0.4\kappa^{-1} \lesssim L \lesssim 4\kappa^{-1}$. An approximate analytical expression has been found, enabling accurate prediction of $\Delta h$ at any values of $L$ that ranges from nanometer to macroscopic scales.

研究动机与目标

• 理解小垂直圆柱体浸没在液体浴中时其外表面的毛细弯月面轮廓。
• 确定弯月面高度Δh如何随圆柱体半径R和容器半径L在不同尺度下的变化。
• 识别当L相对于毛细长度κ⁻¹变化时，Δh的两种不同尺度律之间的转变。
• 推导一个近似解析表达式，以准确预测从纳米尺度到宏观尺度任意L下的Δh。

提出的方法

• 在L ≪ κ⁻¹和L ≫ κ⁻¹的极限下解析求解广义Young-Laplace方程，推导出Δh的尺度律。
• 使用数值方法求解任意L下的完整Young-Laplace方程，捕捉所有区域的弯月面轮廓。
• 将两种尺度律之间的过渡区域识别为大约0.4κ⁻¹ ≤ L ≤ 4κ⁻¹。
• 推导一个近似解析表达式，用于在两个渐近极限之间插值，并与数值结果高度吻合。
• 在从纳米尺度到宏观尺度的整个L范围内验证了解析与数值解的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小容器（L ≪ κ⁻¹）极限下，小圆柱体外表面的弯月面高度Δh如何依赖于容器半径L？
• RQ2 当容器半径远大于毛细长度时，Δh如何随L变化？
• RQ3 随着L增加，Δh的两种尺度律之间的转变具有何种特征？
• RQ4 是否存在一个单一的解析表达式，可准确预测从纳米尺度到宏观尺度的Δh？

主要发现

• 当L ≪ κ⁻¹时，弯月面高度Δh近似与R ln(L/R)成正比。
• 当L ≫ κ⁻¹时，Δh不再依赖于L，而与R ln(κ⁻¹/R)成正比。
• 两种尺度律之间的过渡发生在容器半径L介于约0.4κ⁻¹至4κ⁻¹之间。
• 已推导出一个近似解析表达式，可准确预测从纳米尺度到宏观尺度任意L下的Δh。
• 数值解验证了分析预测，并揭示了在过渡区域弯月面轮廓的平滑过渡。