[论文解读] The metric dimension of small distance-regular and strongly regular graphs

R. A. Bailey|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 28被引用 18

一句话总结

本文通过使用 GAP 进行大量计算机计算，确定了所有小规模距离正则图和强正则图的度量维数，包括所有不超过 34 个顶点的此类图、不超过 100 个顶点的低度数距离传递图，以及各种其他类别。主要贡献是为这些图构建了一个全面的度量维数数据库，强正则图的结果已通过独立方法验证，并扩展了已知结果，涵盖 Johnson 图和 Kneser 图、Paley 图以及 Hadamard 图等家族。

ABSTRACT

A {\em resolving set} for a graph $Γ$ is a collection of vertices $S$, chosen so that for each vertex $v$, the list of distances from $v$ to the members of $S$ uniquely specifies $v$. The {\em metric dimension} of $Γ$ is the smallest size of a resolving set for $Γ$. A graph is {\em distance-regular} if, for any two vertices $u,v$ at each distance $i$, the number of neighbours of $v$ at each possible distance from $u$ (i.e. $i-1$, $i$ or $i+1$) depends only on the distance $i$, and not on the choice of vertices $u,v$. The class of distance-regular graphs includes all distance-transitive graphs and all strongly regular graphs. In this paper, we present the results of computer calculations which have found the metric dimension of all distance-regular graphs on up to 34 vertices, low-valency distance transitive graphs on up to 100 vertices, strongly regular graphs on up to 45 vertices, rank-$3$ strongly regular graphs on under 100 vertices, as well as certain other distance-regular graphs.

研究动机与目标

• 计算所有不超过 34 个顶点的距离正则图的度量维数。
• 确定所有不超过 100 个顶点的低度数距离传递图的度量维数。
• 计算所有不超过 45 个顶点的强正则图的度量维数，并通过独立方法验证先前结果。
• 将计算扩展至不超过 100 个顶点的秩-3 强正则图，以及 Hadamard 图和 Johnson 圖等特定家族。
• 使用计算代数系统，为小规模对称图提供一个全面且经过验证的度量维数数据库。

提出的方法

• 利用 GAP 计算代数系统，系统性地计算图的分辨集。
• 实现算法以计算距离并验证距离正则图和强正则图中分辨集的性质。
• 利用现有库，如 GAP 的本原群库和 Sloane 的 Hadamard 矩阵数据库，来构建和分析图。
• 应用度量维数的定义：寻找最小集合 S，使得所有顶点到 S 的距离向量唯一。
• 使用 GRAPE 从已知的 Hadamard 矩阵构建和分析 Hadamard 图。
• 将强正则图的结果与 Kratica 等人基于线性规划的先前计算结果进行交叉验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有不超过 34 个顶点的距离正则图的度量维数是多少？
• RQ2 在不超过 100 个顶点的低度数距离传递图中，度量维数的行为如何？
• RQ3 所有不超过 45 个顶点的强正则图的度量维数是多少？与先前结果相比有何异同？
• RQ4 不超过 100 个顶点的秩-3 强正则图（包括 Paley 图和 Johnson 图）的度量维数是多少？
• RQ5 在阶数为 4 到 20 的 Hadamard 图中，度量维数呈现出何种模式或界？

主要发现

• 完全多部图 $K_{m_1,\text{...},m_r}$ 的度量维数为 $\sum_{i=1}^r (m_i - 1)$，其证明基于横截选择与抽屉原理。
• 对于 Johnson 图 $J(n,2)$，当 $n \geq 4$ 时，度量维数为 $n-2$，如 $J(9,2)$ 的度量维数为 6，$J(10,2)$ 的度量维数为 7。
• Higman–Sims 图（100 个顶点）的度量维数至多为 14，作者怀疑该值即为精确值。
• 相同阶数的所有 Hadamard 图具有相同的度量维数，其中 $H(4)$ 的度量维数为 4，$H(8)$ 为 7，$H(16)$ 和 $H(20)$ 的度量维数均为 10。
• Paley 图 $P_{37}$ 的度量维数为 5，$P_{41}$ 的度量维数为 7，而更大的 Paley 图如 $P_{89}$ 和 $P_{97}$ 的度量维数分别为 8 和 8。
• Gewirtz 图（56 个顶点）的度量维数为 9，Hoffman–Singleton 图（50 个顶点）的度量维数为 11。