[论文解读] The Microstructure of Stochastic Volatility Models with Self-Exciting Jump Dynamics
本文建立了一个统一的概率框架，用于连续时间随机波动率模型，其具有自激发跳跃动态，利用霍克斯过程和泊松随机测度来建模外生冲击与自激发冲击。证明了在标度极限下，资产收益与波动率由独立的高斯白噪声及两个独立的泊松测度驱动，数学上表明多个微小外部冲击可触发收益与波动率中的内生跳跃级联。
We provide a general probabilistic framework within which we establish scaling limits for a class of continuous-time stochastic volatility models with self-exciting jump dynamics. In the scaling limit, the joint dynamics of asset returns and volatility is driven by independent Gaussian white noises and two independent Poisson random measures that capture the arrival of exogenous shocks and the arrival of self-excited shocks, respectively. Various well-studied stochastic volatility models with and without self-exciting price/volatility co-jumps are obtained as special cases under different scaling regimes. We analyze the impact of external shocks on the market dynamics, especially their impact on jump cascades and show in a mathematically rigorous manner that many small external shocks may tigger endogenous jump cascades in asset returns and stock price volatility.
研究动机与目标
- 开发一个适用于具有自激发跳跃动态的随机波动率模型的一般概率框架。
- 分析外部冲击对市场动态的影响，特别是其在触发跳跃级联中的作用。
- 在统一的标度极限下，将各种著名的具有或不具有共跳跃的随机波动率模型统一起来。
- 为具有自激发波动率尖峰的模型提供微观基础，并改善其对经验数据的拟合度。
- 在限单订单簿与波动率建模的背景下，建立带标记霍克斯过程的功能极限定理。
提出的方法
- 使用带标记的霍克斯过程和泊松随机测度来建模外生与自激发冲击的到达。
- 应用功能极限定理，推导资产收益与波动率联合动态的标度极限。
- 利用泊松随机测度的指数公式，计算极限过程的特征函数。
- 引入带移民的时变泊松测度框架，以建模跳跃到达中的自激发现象。
- 利用积分霍克斯强度的拉普拉斯变换及分支过程近似，推导极限行为。
- 在轻尾与重尾条件下，应用大偏差原理与带标记霍克斯过程的弱收敛结果。
实验结果
研究问题
- RQ1微小外部冲击如何触发资产收益与波动率中的内生跳跃级联？
- RQ2在适当的标度下，具有自激发跳跃的随机波动率模型的极限行为是什么？
- RQ3如何构建一个统一框架，以同时包含波动率模型中的外生与自激发跳跃动态？
- RQ4霍克斯过程在何种方式下为粗糙赫斯顿型模型提供微观基础？
- RQ5在何种条件下，霍克斯过程的重标度强度与点过程会收敛到费勒扩散或粗糙分数阶扩散？
主要发现
- 在标度极限下，资产收益与波动率的联合动态由独立的高斯白噪声及两个独立的泊松随机测度（分别对应外生与自激发冲击）驱动。
- 在不同的标度制度下，该模型可作为具有或不具有共跳跃的著名随机波动率模型的特例被恢复。
- 数学上严格的证明表明，大量微小外部冲击可触发收益与波动率中的内生跳跃级联。
- 在轻尾条件下，霍克斯过程的重标度强度过程弱收敛于费勒扩散。
- 在重尾条件下，重标度点过程弱收敛于粗糙分数阶扩散的积分。
- 该框架为粗糙赫斯顿模型提供了微观基础，并解释了经验中观察到的大波动率移动聚集现象。
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