[论文解读] The minimal ideal in multiplier algebras

Victor Kaftal, P. W. Ng+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文证明了在简单、σ-酉、非酉、非初等C*-代数 $\mathcal{A}$ 的乘子代数 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 中，最小理想 $I_{\mathrm{min}}$ 与通过约化单位定义的林的理想一致，且是严格包含 $\mathcal{A}$ 的最小闭理想。本文证明了 $I_{\mathrm{min}}/\mathcal{A}$ 是纯无穷且单的，并表明 $I_{\mathrm{min}} = I_{\mathrm{cont}}$ 当且仅当 $\mathcal{A}$ 具有通过迹的正元素严格比较性质，其中维拉德森的无慢维数增长AH代数提供了反例。

ABSTRACT

Let $\mathcal A$ be a simple, $σ$-unital, non-unital, non-elementary C*-algebra and let $I_{min}$ be the intersection of all the ideals of $\mathcal M(\mathcal A)$ that properly contain $\mathcal A$. $I_{min}$ coincides with the ideal defined by Lin (Simple C*-algebras with continuous scales and simple corona algebras. 112, (1991) Proc. Amer.Math. Soc) in terms of approximate units of $\mathcal A$ and $I_{min}/\mathcal A$ is purely infinite and simple. If $\mathcal A$ is separable, or if $\mathcal A$ has the (SP) property and its dimension semigroup $D(\mathcal A)$ of Murray-von Neumann equivalence classes of projections of $\mathcal A$ is order separable, or if $\mathcal A$ has strict comparison of positive elements by traces, then $\mathcal A e I_{min}$. If the tracial simplex $ \mathcal T(\mathcal A)$ is nonempty, let $ I_{con}$ be the closure of the linear span of the elements $A\in\mathcal M(\mathcal A)_+$ such that the evaluation map $\hat A(τ)=τ(A)$ is continuous. If $\mathcal A$ has strict comparison of positive element by traces then $I_{min}= I_{con}$. Furthermore, $I_{min}$ too has strict comparison of positive elements in the sense that if $A, B\in (I_{min})_+$, $B ot \in\mathcal A$ and $d_τ(A)< d_τ(B)$ for all $τ\in \mathcal T(\mathcal A)$ for which $d_τ(B)< \infty$, then $A\preceq B$. However if $\mathcal A$ does not have strict comparison of positive elements by traces then $I_{min} e I_{con}$ can occur: a counterexample is provided by Villadsen's AH algebras without slow dimension growth. If the dimension growth is flat, $ I_{con}$ is the largest proper ideal of $\mathcal M(\mathcal A)$.

研究动机与目标

• 澄清简单、$\sigma$-酉、非酉、非初等C*-代数的乘子代数中各种最小理想构造之间的关系。
• 确立 $I_{\mathrm{min}}$（定义为林的非闭理想之闭包）是严格包含 $\mathcal{A}$ 的最小闭理想。
• 刻画 $I_{\mathrm{min}}$ 与连续理想 $I_{\mathrm{cont}}$（通过迹值连续性定义）相等的条件。
• 研究 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 的理想结构及 $I_{\mathrm{min}}$ 的性质，特别是其严格比较与纯性。
• 提供反例——无慢维数增长的维拉德森AH代数——说明 $I_{\mathrm{min}} \neq I_{\mathrm{cont}}$ 的情形。

提出的方法

• 本文利用 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 中元素的双对角分解，证明林的非闭理想的闭包 $I_{\mathrm{min}}$ 是双边理想。
• 将 $I_{\mathrm{min}}$ 定义为由 $\mathcal{A}$ 的约化单位 $\{e_n\}$ 生成的集合 $L(K_o(\{e_n\}))$ 的闭包，并证明该理想与约化单位的选择无关。
• 引入 $I_{\mathrm{cont}}$ 为正元素 $A \in \mathcal{M}(\mathcal{A})_+$ 的线性张成的闭包，其中迹值函数 $\hat{A}(\tau) = \tau(A)$ 在迹单纯形 $\mathcal{T}(\mathcal{A})$ 上连续。
• 利用维数-秩比与稳定秩技术分析投影的满性及 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 的结构，特别是在维拉德森代数的背景下。
• 应用 $K$-理论及投影的Murray-von Neumann等价性结果，证明在特定条件下 $I_{\mathrm{min}}/\mathcal{A}$ 是纯无穷且单的。
• 使用改进的三对角分解（引理7.11）分析 $I(R_\infty)$ 中元素的行为，并证明 $Q \notin I(R_\infty)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 中，最小理想 $I_{\mathrm{min}}$ 是否与通过约化单位定义的林的理想一致，且是否与约化单位的选择无关？
• RQ2 在何种条件下 $I_{\mathrm{min}}$ 等于由迹泛函在 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 上连续性定义的连续理想 $I_{\mathrm{cont}}$？
• RQ3 $I_{\mathrm{min}}/\mathcal{A}$ 是否为纯无穷且单的？在何种条件下可保证此性质？
• RQ4 $I_{\mathrm{min}} \neq I_{\mathrm{cont}}$ 是否可能发生？若可能，其在 $\mathcal{A}$ 的何种结构条件下成立？
• RQ5 正元素通过迹的严格比较在决定 $I_{\mathrm{min}} = I_{\mathrm{cont}}$ 的等式中起何种作用？

主要发现

• 在 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 中，最小理想 $I_{\mathrm{min}}$ 是林的非闭理想 $L(K_o(\{e_n\}))$ 的闭包，且为与约化单位选择无关的双边理想。
• 理想 $I_{\mathrm{min}}$ 是严格包含 $\mathcal{A}$ 的最小闭理想，且 $I_{\mathrm{min}}/\mathcal{A}$ 是纯无穷且单的。
• $I_{\mathrm{min}} = I_{\mathrm{cont}}$ 当且仅当 $\mathcal{A}$ 具有正元素通过迹的严格比较性质，此结论由无慢维数增长的维拉德森AH代数的反例所证实。
• 若 $\mathcal{A}$ 具有正元素通过迹的严格比较性质，则 $I_{\mathrm{min}}$ 本身也具有严格比较：对任意 $A,B \in (I_{\mathrm{min}})_+$，若对所有满足 $d_\tau(B) < \infty$ 的 $\tau \in \mathcal{T}(\mathcal{A})$ 有 $d_\tau(A) < d_\tau(B)$，则 $A \preceq B$。
• 在无慢维数增长的维拉德森AH代数中，$I_{\mathrm{min}} \neq I_{\mathrm{cont}}$ 成立，且当维数增长平坦时，$I_{\mathrm{cont}}$ 是 $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ 的最大真理想。
• 元素 $R_\infty = \bigoplus_{k=1}^\infty k! r_k$ 是 $\mathcal{M}(\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}) \setminus (\mathcal{A} \otimes \mathcal{K})$ 中的投影，满足 $R_\infty \notin I_{\mathrm{cont}}$，且当 $n_k \geq k! \sigma(k)$ 时有 $Q \notin I(R_\infty)$。