[论文解读] The Minimal Polynomial over F_q of Linear Recurring Sequence over F_{q^m}

Zhihan Gao, Fang‐Wei Fu|ArXiv.org|Apr 3, 2009

Coding theory and cryptography被引用 6

一句话总结

本文在已知其最小多项式 h(x) 在 𝔽_{q^m} 上的典型分解的前提下，确定了 𝔽_{q^m} 上线性递推序列在 𝔽_q 上的最小多项式和线性复杂度。通过在 𝔽_{q^m}[x] 上引入一个环自同态 σ，作者推导出一个公式：通过取不可约因子的 σ-轨道的乘积，构造 𝔽_q 上的最小多项式，线性复杂度则计算为各轨道的度数之和，按其重数加权。关键贡献在于，从 h(x) 的分解出发，提供了一种构造性方法来计算联合最小多项式与联合线性复杂度。

ABSTRACT

Recently, motivated by the study of vectorized stream cipher systems, the joint linear complexity and joint minimal polynomial of multisequences have been investigated. Let S be a linear recurring sequence over finite field F_{q^m} with minimal polynomial h(x) over F_{q^m}. Since F_{q^m} and F_{q}^m are isomorphic vector spaces over the finite field F_q, S is identified with an m-fold multisequence S^{(m)} over the finite field F_q. The joint minimal polynomial and joint linear complexity of the m-fold multisequence S^{(m)} are the minimal polynomial and linear complexity over F_q of S respectively. In this paper, we study the minimal polynomial and linear complexity over F_q of a linear recurring sequence S over F_{q^m} with minimal polynomial h(x) over F_{q^m}. If the canonical factorization of h(x) in F_{q^m}[x] is known, we determine the minimal polynomial and linear complexity over F_q of the linear recurring sequence S over F_{q^m}.

研究动机与目标

• 在已知 𝔽_{q^m} 上序列的最小多项式 h(x) 的典型分解的前提下，确定该序列在 𝔽_q 上的最小多项式与线性复杂度。
• 建立一种构造性方法，用于计算由 𝔽_{q^m} 上序列导出的 𝔽_q 上 m 重多序列的联合最小多项式与联合线性复杂度。
• 为 Meidl 和 Özbudak 推导出的 𝔽_{q^m} 上线性复杂度下界的紧致性条件提供新的证明与表征。
• 通过弗罗贝尼乌斯自同态 σ 的作用，阐明 𝔽_{q^m}[x] 中 h(x) 的分解与 𝔽_q 上最小多项式结构之间的关系。

提出的方法

• 在 𝔽_{q^m}[x] 上引入一个环自同态 σ，定义为 σ(f(x)) = f(σ(x))，其中 σ 是 𝔽_{q^m} 上将 α 映射为 α^q 的弗罗贝尼乌斯自同态。
• 将 𝔽_{q^m}[x] 中首一不可约多项式 P(x) 的 σ-轨道定义为集合 {σ^j(P(x)) | j ≥ 0}，并确定其大小 k(P) 为满足 σ^{k(P)}(P) = P 的最小正整数。
• 对 h(x) 的每个不可约因子 P_i，计算其轨道大小 k(P_i) = gcd(deg(P_i), m)，并利用该轨道构造 𝔽_q 上的最小多项式，即所有不同 σ-轨道的不可约因子的乘积。
• 利用 h(x) 的典型分解 h(x) = ∏_{i=1}^k P_i^{e_{i0}} σ(P_i)^{e_{i1}} ⋯ σ^{u_i-1}(P_i)^{e_{i(u_i-1)}}，推导出 𝔽_q 上的最小多项式 H(x) = ∏_{i=1}^k (P_i σ(P_i) ⋯ σ^{k_i-1}(P_i))^{e_i}，其中 e_i = max{e_{ij}}。
• 将 𝔽_q 上的线性复杂度计算为 deg(H(x)) = ∑_{i=1}^k e_i ⋅ k_i ⋅ deg(P_i)，其中 k_i 为 P_i 的 σ-轨道大小。
• 证明：在 𝔽_{q^m} 上的线性复杂度下界是紧致的，当且仅当 𝔽_{q^m} 上的最小多项式 h(x) 是相同不可约因子的 σ-轨道的乘积，且各因子的指数均为完整形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 𝔽_{q^m} 上序列的最小多项式 h(x) 的典型分解，计算其在 𝔽_q 上的最小多项式？
• RQ2 h(x) 的不可约因子的 σ-轨道结构与 𝔽_q 上最小多项式之间存在何种精确关系？
• RQ3 Meidl 和 Özbudak 推导出的 𝔽_{q^m} 上线性复杂度下界在何种条件下是紧致的？
• RQ4 𝔽_q 上 m 重多序列的联合线性复杂度与 𝔽_{q^m} 上最小多项式的分解之间有何关系？
• RQ5 弗罗贝尼乌斯自同态 σ 在构造基域 𝔽_q 上的最小多项式过程中起什么作用？

主要发现

• 在 𝔽_{q^m} 上具有最小多项式 h(x) 的线性递推序列，在 𝔽_q 上的最小多项式 H(x) 为 H(x) = ∏_{i=1}^k (P_i σ(P_i) ⋯ σ^{k_i-1}(P_i))^{e_i}，其中 P_i 是 h(x) 的不可约因子，k_i 为其 σ-轨道大小，e_i 为轨道各分量中最大的重数。
• 该序列在 𝔽_q 上的线性复杂度为 deg(H(x)) = ∑_{i=1}^k e_i ⋅ k_i ⋅ deg(P_i)，即轨道乘积的度数之和，按其重数加权计算。
• 在 𝔽_{q^m} 上，具有 𝔽_q 上最小多项式 f(x) 的序列的线性复杂度下界为 ∑_{i=1}^k e_i ⋅ n_i / gcd(n_i, m)，其中 n_i = deg(r_i)，r_i 为 f(x) 的不可约因子；该下界是紧致的，当且仅当 h(x) 是 f(x) 的不可约因子的 σ-轨道的乘积，且各因子的指数均为完整形式。
• 𝔽_q 上的最小多项式 H(x) 由 h(x) 的不可约因子的 σ-轨道分解唯一确定，且是 𝔽_q[x] 中能消去该序列的最低次首一多项式。
• 在示例中，𝔽_2 上的最小多项式为 (x^2 + x + 1)(x^4 + x + 1) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + 1，𝔽_2 上的线性复杂度为 6，计算方式为 2×1 + 2×2 = 6。
• Meidl-Özbudak 线性复杂度下界紧致性的条件是：𝔽_{q^m} 上的最小多项式 h(x) 具有形式 ∏_{i=1}^k σ^{j_i}(P_i)^{e_i}，其中 0 ≤ j_i ≤ u_i - 1，且 u_i = gcd(n_i, m)。