[论文解读] The minimal size of a graph with generalized connectivity $κ_3 = 2$

Shasha Li, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2011

Interconnection Networks and Systems参考文献 1被引用 15

一句话总结

本文确定了使图实现广义3-连通性 $\kappa_3 = 2$ 所需的最少边数，证明了任意阶为 $n$ 的此类图至少需要 $\frac{6}{5}n$ 条边。作者构造了一类图族达到该界限，证明其紧致性，并为 $\kappa_3 = 2$ 图提供了紧确下界。

ABSTRACT

Let $G$ be a nontrivial connected graph of order $n$ and $k$ an integer with $2\leq k\leq n$. For a set $S$ of $k$ vertices of $G$, let $κ(S)$ denote the maximum number $\ell$ of edge-disjoint trees $T_1,T_2,...,T_\ell$ in $G$ such that $V(T_i)\cap V(T_j)=S$ for every pair $i,j$ of distinct integers with $1\leq i,j\leq \ell$. Chartrand et al. generalized the concept of connectivity as follows: The $k$-$connectivity$, denoted by $κ_k(G)$, of $G$ is defined by $κ_k(G)=$min$\{κ(S)\}$, where the minimum is taken over all $k$-subsets $S$ of $V(G)$. Thus $κ_2(G)=κ(G)$, where $κ(G)$ is the connectivity of $G$. This paper mainly focuses on the minimal number of edges of a graph $G$ with $κ_{3}(G)= 2$. For a graph $G$ of order $v(G)$ and size $e(G)$ with $κ_{3}(G)= 2$, we obtain that $e(G)\geq 6/5v(G)$, and the lower bound is sharp by showing a class of examples attaining the lower bound.

研究动机与目标

• 确定广义3-连通性 $\kappa_3 = 2$ 的图的最少边数。
• 以图的阶为基准，建立此类图大小的紧下界。
• 构造显式图族，使其达到理论上的最小边数。
• 刻画下界达到时的结构条件。
• 通过识别 $\frac{6}{5}n$ 条边不足以保证 $\kappa_3 = 2$ 的情况（例如阶为10的图），解决边数与 $\kappa_3$ 值之间的差异。

提出的方法

• 将 $\kappa_3(G)$ 定义为所有3个顶点子集 $S$ 的最小值，即仅以 $S$ 为公共顶点的边不相交生成树的最大数量。
• 使用度数约束：由于 $\kappa_3(G) = 2$，最小度 $\delta(G) \geq 2$，且度数为2的顶点构成一个稳定集。
• 将顶点划分为 $X$（度数为2）和 $Y$（度数 $\geq 3$），并通过 $e(G) = 2|X| + m'$ 表达边数，其中 $m'$ 为 $Y$ 内部的边数。
• 利用度数和约束导出的不等式 $5|X| + 2m' \geq 3n$，推导出 $e(G) \geq \frac{6}{5}n$。
• 构造一类图 $H_k$，其具有 $5k$ 个顶点和 $6k$ 条边（即 $e(H_k) = \frac{6}{5}v(H_k)$），证明当 $k \neq 2$ 时该界是紧的。
• 通过分析大小为3的顶点子集 $S$，显式构造每组 $S$ 的两棵内部不相交生成树，验证 $\kappa_3(H_k) = 2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 图在保持 $\kappa_3(G) = 2$ 的前提下，最少可以有多少条边？
• RQ2 下界 $e(G) \geq \frac{6}{5}v(G)$ 是否可实现？若可实现，其结构条件为何？
• RQ3 为何阶为10且有12条边的图满足 $e(G) = \frac{6}{5}v(G)$，但 $\kappa_3 = 1$？
• RQ4 在 $\kappa_3(G) = 2$ 的边数界中，等式成立的充要条件是什么？
• RQ5 度数分布与顶点划分如何影响3-顶点集内部不相交生成树的存在性？

主要发现

• 广义3-连通性 $\kappa_3(G) = 2$ 的图的最小边数为 $e(G) \geq \frac{6}{5}v(G)$，且该界是紧的。
• 当且仅当图恰好有 $\frac{3}{5}v(G)$ 个度数为2的顶点构成稳定集，其余所有顶点度数为3，且高阶顶点集合内部无边时，等式成立。
• 对于所有 $k \neq 2$，图族 $H_k$（具有 $5k$ 个顶点和 $6k$ 条边）实现了该下界，证明其紧致性。
• 当 $k = 2$ 时，图 $H_2$ 有10个顶点和12条边，但满足 $\kappa_3(H_2) = 1$，表明 $\frac{6}{5}n$ 条边不足以保证 $\kappa_3 = 2$。
• 对每个3-顶点子集 $S$ 显式构造两棵内部不相交生成树，证实当 $k \neq 2$ 时 $\kappa_3(H_k) = 2$。
• 通过阶为10的连通图反例（12条边）表明，该下界在阶为10时不可实现。