[论文解读] The minimax approach to the estimation of solutions to first order linear systems of ordinary differential periodic equations with inexact data

A. G. Nakonechny, Yuri Podlipenko|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Statistical and numerical algorithms参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文针对右端项受二次约束的周期性一阶线性常微分方程组，提出了一种在数据不精确条件下的极小极大估计方法。通过将估计问题转化为最优控制问题，推导出解和线性泛函的极小极大估计的显式表达式，其求解依赖于唯一可解的周期性常微分方程组。

ABSTRACT

We consider first-order linear systems of ordinary differential equations with periodic coefficients. Supposing that right-hand sides of equations are not known and subjected to some quadratic restrictions, we obtain optimal, in certain sense, estimates of solutions to above-mentioned problems from indirect noisy observations of these solutions on a finite system of points and intervals.

研究动机与目标

• 解决当右端项仅知满足二次约束时，对一阶线性周期性常微分方程组解进行估计的挑战。
• 从有限区间和点上的间接噪声观测中，建立解和线性泛函的保证性（极小极大）估计。
• 确定估计问题可约化为求解唯一可解的周期性常微分方程组的条件。
• 利用伴随系统与原始周期系统解的显式解析表达式，给出极小极大估计及其估计误差的显式表达式。

提出的方法

• 将估计问题形式化为极小极大优化：在满足二次约束的所有允许扰动下，最小化最坏情况下的均方误差。
• 通过对偶原理，将极小极大估计问题转化为最优控制问题，利用伴随系统。
• 推导出在观测点具有脉冲条件的周期性常微分方程伴随系统，以刻画最优估计。
• 将解的极小极大估计表示为观测值的线性泛函，其系数由周期性常微分方程组的解确定。
• 构建关于观测点处协态函数值的线性代数方程组，以实现估计的数值计算。
• 利用基本矩阵解与转移矩阵（如 $X(t)$，$Z(t) = [X^*(t)]^{-1}$）推导估计误差与估计本身的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当右端项仅知满足二次约束时，如何获得周期性线性常微分方程组解的极小极大估计？
• RQ2 在解的间接噪声观测（离散点与区间）下，最优线性估计的结构是怎样的？
• RQ3 如何将极小极大估计问题转化为可解的最优控制问题？
• RQ4 在何种条件下，可确保估计过程中得到的周期性常微分方程组具有唯一解？
• RQ5 估计误差与最优估计如何通过系统的基本解以显式形式表达？

主要发现

• 解的极小极大估计被显式表达为观测值的线性组合，其系数由周期性常微分方程组的解导出。
• 估计误差由唯一周期性常微分方程组的解确定，确保在最坏扰动下具有稳定性和最优性。
• 观测点处协态函数的取值满足一个线性代数方程组，当满足条件 $\det(E_n - X(T)) \neq 0$ 时可求解。
• 最优估计与估计误差均以基本矩阵 $X(t)$ 及其伴随矩阵 $Z(t) = [X^*(t)]^{-1}$ 的形式显式表达。
• 该方法导出了在二次不确定性约束下周期系统的极小极大卡尔曼-布恰类型滤波器。
• 通过推导出 $p(t)$，$\hat{z}(t)$ 与 $\hat{x}(t)$ 的显式公式，验证了该方法的有效性，表明估计与具有脉冲条件的对偶周期系统解直接关联。