[论文解读] The minimizing vector theorem in symmetrized max-plus algebra

Cenap Özel, Artur Piękosz+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文证明，在对称化最大-加法代数中，一个非空子集是切比雪夫集（即每个元素都有唯一的最接近点）当且仅当它同时闭合且连通。作者在不使用选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）框架下，利用拓扑与几何论证，证明了有限个对称化最大-加法空间乘积中逼近集与切比雪夫集的新结果，并将其应用于最小化向量定理。

ABSTRACT

Assuming ZF and its consistency, we study some topological and geometrical properties of the symmetrized max-plus algebra in the absence of the axiom of choice in order to discuss the minimizing vector theorem for finite products of copies of the symmetrized max-plus algebra. Several relevant statements that follow from the axiom of countable choice restricted to sequences of subsets of the real line are shown. Among them, it is proved that if all simultaneously complete and connected subspaces of the plane are closed, then the real line is sequential. A brief discussion about semidenrites is included. Older known proofs in ZFC of several basic facts relevant to proximinal and Chebyshev sets in metric spaces are replaced by new proofs in ZF. It is proved that a nonempty subset C of the symmetrized max-plus algebra is Chebyshev in this algebra if and only if C is simultaneously closed and connected. An application of it to a version of the minimizing vector theorem for finite products of the symmetrized max-plus algebra is shown. Open problems concerning some statements independent of ZF and other statements relevant to Chebyshev sets are posed.

研究动机与目标

• 在不使用选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）下，研究有限个对称化最大-加法代数（SMPA）乘积中的最小化向量定理。
• 利用拓扑与几何性质，刻画SMPA及其有限乘积中的切比雪夫集。
• 用新的、更精细的证明方法替代经典ZFC框架下逼近集与切比雪夫集性质的证明，使这些证明在ZF中依然有效。
• 识别SMPA子集同时为闭合、连通与切比雪夫集的条件，尤其关注实数集R的度量完备性与序列性。
• 提出关于切比雪夫集结构及其与凸性、完备性关系的开放问题，适用于SMPA及其乘积。

提出的方法

• 以策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）作为基础框架，避免使用选择公理，并在需要时仅使用实数集子集的可数选择。
• 在对称化最大-加法代数 $\mathbb{S}$ 上引入两个等价度量 $d_1$ 与 $d_2$，并通过内度量诱导拓扑，使 $\mathbb{S}$ 成为可嵌入 $\mathbb{C}$ 的半分枝（semdendrite）。
• 在 $\mathbb{S}^n$ 中定义几何线段为 $\mathbb{C}^n$ 中的折线，并引入框半模凸性（box semimodule convexity），即 $\mathbb{S}$ 中半模凸集的笛卡尔积。
• 通过连通分支与邻近集的拓扑论证，证明 $\mathbb{S}$ 的闭合且连通子集恰好是 $d_i$-切比雪夫集。
• 证明在 $\mathbb{S}^n$ 中，一个集合是 $\rho_{k,j}$-切比雪夫集当且仅当它是连通的，其中 $\rho_{k,j}$ 为乘积度量，且度量投影的原像至多包含 $3^n$ 个点。
• 利用半模结构与 $\mathbb{S}^n$ 上的自然拓扑，分析度量的完备性与康托完备性，并将其与 $\mathbb{R}$ 的序列性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不使用选择公理的ZF中，$\mathbb{S}$ 的每个同时闭合且连通的子集是否都是切比雪夫集？
• RQ2 若平面中所有同时完备且连通的子空间都是闭合的，则实直线是否为序列空间？
• RQ3 在 $\mathbb{S}^n$ 中，一个集合 $D_i$-切比雪夫集当且仅当它是几何凸集吗？
• RQ4 能否仅使用ZF与实数集子集的可数选择，完全刻画 $\mathbb{S}^n$ 中的最小化向量定理？
• RQ5 在ZF中，无限维希尔伯特空间的每个同时凸且完备的子集是否都是康托完备的？

主要发现

• 对称化最大-加法代数 $\mathbb{S}$ 的非空子集 $C$ 是 $d_i$-切比雪夫集当且仅当它同时闭合且连通。
• 对于 $\mathbb{S}^n$，若集合 $A = \prod_{i \in n} A_i$ 在乘积度量 $\rho_{k,j}$ 下为 $\rho_{k,j}$-切比雪夫集，则当且仅当 $A$ 是连通的。
• 对于闭合的框半模凸集 $A \subseteq \mathbb{S}^n$，其度量投影 $P_{\rho_{k,j},A}(x)$ 至多包含 $3^n$ 个点。
• 若平面中所有同时完备且连通的子空间都是闭合的，则实直线是序列空间，该结论在ZF中与该命题等价。
• 经典度量空间中逼近集与切比雪夫集性质的ZFC证明被替换为新的、不依赖选择公理的ZF有效证明。
• 提出一个开放问题：在 $\mathbb{S}^n$（$n > 1$）中，一个集合是 $D_i$-切比雪夫集当且仅当它是几何凸集吗？