[论文解读] The minimum entropy principle for fluid flows in a nozzle with discontinuous cross-section

Dietmar Kroener, Philippe G. LeFloch+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 2007

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文通过推导熵不等式的守恒形式，为具有不连续截面的喷管中的可压缩流体流动建立了最小熵原理。证明了熵解满足离散最小熵原理，确保基于黎曼求解器和熵对的有限体积格式中数值稳定性和密度的正性。

ABSTRACT

We consider the Euler equations for compressible fluids in a nozzle whose cross-section is variable and may contain discontinuities. We view these equations as a hyperbolic system in nonconservative form and investigate weak solutions in the sense of Dal Maso, LeFloch, and Murat. Observing that the entropy equality has a fully conservative form, we derive a minimum entropy principle satisfied by entropy solutions. We then establish the stability of a class of numerical approximations for this system.

研究动机与目标

• 为具有不连续截面的喷管中的可压缩流体流动建立最小熵原理。
• 利用 Dal Maso-LeFloch-Murat 理论分析非守恒形式的 Euler 方程的弱解。
• 证明熵不等式具有完全守恒形式，从而避免使用非守恒乘积形式。
• 通过证明其保持最小熵原理和密度正性，证明有限体积格式的稳定性。
• 将 Tadmor 的最小熵原理推广至具有可变和不连续截面的喷管流动。

提出的方法

• 将具有可变截面的喷管中可压缩流的 Euler 方程表述为非守恒形式的双曲系统。
• 引入一个平凡方程 ∂ₜa = 0，将不连续截面作为系统的一部分处理。
• 利用物理熵 𝒰 = ρS 和熵对 (g(S), f(U))，其中 g(S) 严格递减且严格凸，推导出熵不等式的守恒形式。
• 应用熵解理论，并利用熵函数的凸性，推导出数值格式的离散熵不等式。
• 采用 Kröner 和 Thanh 提出的有限体积格式，通过在单元界面使用黎曼求解器计算数值通量。
• 利用经典凸性不等式 (4.20) 证明该格式满足数值熵不等式，从而在离散设置下得到最小熵原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有不连续截面的喷管中的可压缩流体流动建立最小熵原理？
• RQ2 此类流动的熵不等式是否可采用守恒形式，避免使用非守恒乘积项？
• RQ3 能否构造一种保持最小熵原理和密度正性的数值格式？
• RQ4 在有限体积格式的背景下，离散熵不等式与连续熵不等式有何关系？
• RQ5 在熵稳定性框架下，何种条件可确保数值解保持物理有效性（如密度非负）？

主要发现

• 证明了喷管流动的熵不等式具有完全守恒形式，使得无需使用非守恒乘积形式即可采用分布解。
• 特定熵 S 沿时间非增，将 Tadmor 的最小熵原理推广至具有可变和不连续截面的喷管。
• Kröner 和 Thanh 提出的有限体积格式满足离散最小熵原理，确保在每个时间步有 Sⱼⁿ⁺¹ ≥ min{Sⱼ₋₁ⁿ, Sⱼ₊₁ⁿ}。
• 在涉及最大速度和压强导数的 CFL 类条件约束下，该格式保持了密度 ρⱼⁿ⁺¹ > 0 的正性。
• 证明依赖于函数 h(ρ, S) = (γ−2)p(ρ,S)/ρ² 的凹性，以及对 Rusanov 型数值通量的有界性。
• 在熵不等式中取 p → ∞ 的极限，可导出离散最小熵原理，从而确认在数值解中熵不会随时间增加。