[论文解读] The Mittag-Leffler function

Piet Van Mieghem|arXiv (Cornell University)|May 27, 2020

Matrix Theory and Algorithms参考文献 31被引用 65

一句话总结

本论文提供对 Mittag-Leffler function E_{a,b}(z) 的自包含综述，包括新的结果，覆盖复分析、特殊值、求导、关系，以及在分数阶微积分中的应用。

ABSTRACT

We review the function theoretical properties of the Mittag-Leffler function $E_{a,b}\left( z ight) $ in a self-contained manner, but also add new results; more than half is new!

研究动机与目标

• 界定 Mittag-Leffler function E_{a,b}(z) 的函数性质并建立严格的解析框架。
• 提出其在求导、递归和特殊值方面的新的结果，以增强在分数阶微积分中的适用性。
• 将 E_{a,b}(z) 与相关函数（例如超几何、cosh、erfc）联系起来并推导有用的恒等式。
• 讨论零点、阶次与增长性，并建立支持概率和物理应用的基本关系。

提出的方法

• 定义并分析 E_{a,b}(z) = sum_{k=0}^{∞} z^{k} / Γ(b + a k).
• 推导关键恒等式，如求导规则 az d/dz E_{a,b}(z) = E_{a,b-1}(z) − (b−1) E_{a,b}(z).
• 获得并使用递推与平移公式，如 E_{a,b}(z) = (1/z)(E_{a,b−a}(z) − 1/Γ(b−a)) 和 E_{a,b}(z) = (1/Γ(b)) + z E_{a,b+a}(z).
• 探索特殊值（例如 E_{1,1}(z)=e^{z}, E_{2,1}(z)=cosh(√z)）以及循环分解（E_{am,b}(z^{m}) 的关系）。
• 分析阶次与增长、零点行为，以及 Hadamard 型界来对 E_{a,b}(z) 进行界定。
• 为一般与分数阶 a 开发求导递推与展开，包括 E_{1/n,b}(z^{1/n}) 的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 Re(a)>0 的情形，E_{a,b}(z) 的基本解析性质（整性、阶次）是什么？
• RQ2 如何在 b 与 a 的平移下对 E_{a,b}(z) 进行求导与联系，以及由此产生的递归结构是什么？
• RQ3 有哪些特殊值与表示将 E_{a,b}(z) 与初等或经典特殊函数联系起来？
• RQ4 E_{a,b}(z) 的循环分解与多值分解的行为及其意义是什么？
• RQ5 可以建立哪些界、零点与增长结果，以帮助在分数微积分及相关领域的应用？

主要发现

• E_{a,b}(z) 对 Re(a) > 0 且任意 b 来说是一个整函数，阶次 ρ = 1/a。
• 一个基本的求导规律是 az d/dz E_{a,b}(z) = E_{a,b-1}(z) − (b−1) E_{a,b}(z).
• 存在若干平移/递推公式，包括 E_{a,b}(z) = (1/z)(E_{a,b−a}(z) − 1/Γ(b−a)) 和 E_{a,b}(z) = (1/Γ(b)) + z E_{a,b+a}(z).
• 循环分解性质：E_{am,b}(z^{m}) = (1/m) ∑_{r=0}^{m−1} E_{a,b}(z e^{i 2π r/m}).
• 特殊情形可导出初等函数（例如 E_{1,1}(z)=e^{z}, E_{2,1}(z)=cosh(√z)）及与超几何函数的联系（E_{1,b}(z)=M(1,b,z)/Γ(b)）。
• 界与渐近性包括 Hadamard 型界以及与 e^{x^{1/a}} 的比较，提供尖锐的增长估计。
• 分数 a 的分析给出 E_{1/n,b}(x) 的表示，涉及不完全 gamma 函数和指数函数，突出这些函数的阶 n。
• 对数导数 d/dz log E_{a,b}(z) 在 z>0 且 b>1 时为正，表明在实轴上对数增长单调。
• 在任意 z0 处的泰勒展开是可能的，存在一个特殊的分化递推，便于通过 E_{a,b−j}(z0) 展开。