[论文解读] The mixed $0$-form/$1$-form anomaly in Hilbert space: pouring new wine into old bottles

Andrew A. Cox, Erich Poppitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 105被引用 28

一句话总结

该论文表明，在四维规范场论中，0形式/1形式混合的't Hooft异常——例如在θ=π时的SU(N)杨-米尔斯理论中的宇称对称性和中心对称性异常——在T³上进行正则化量子化后，会导致全局对称性算符代数的中心扩张。该异常表现为1形式中心对称性与θ角位移算符之间的非平凡对易关系，从而在有限体积下导致哈密顿量谱的简并，这在无限体积极限下表明了宇称对称性的自发性破缺。

ABSTRACT

We study four-dimensional gauge theories with arbitrary simple gauge group with $1$-form global center symmetry and $0$-form parity or discrete chiral symmetry. We canonically quantize on $\mathbb{T}^3$, in a fixed background field gauging the $1$-form symmetry. We show that the mixed $0$-form/$1$-form 't Hooft anomaly results in a central extension of the global-symmetry operator algebra. We determine this algebra in each case and show that the anomaly implies degeneracies in the spectrum of the Hamiltonian at any finite-size torus. We discuss the consistency of these constraints with both older and recent semiclassical calculations in $SU(N)$ theories, with or without adjoint fermions, as well as with their conjectured infrared phases.

研究动机与目标

• 从T³上的正则化量子化视角，理解四维规范场论中0形式/1形式混合't Hooft异常的起源。
• 证明此类异常会导致全局对称性代数的中心扩张，将已知的二维结果推广至四维。
• 在有限体积下，建立异常与哈密顿量谱中能级简并之间的直接联系。
• 将分析扩展至所有具有非平凡中心的简单规范群：SU(N)、Sp(N)、Spin(N)、E6和E7。
• 将量子代数约束与SU(N)理论（含或不含伴随费米子）中已知的半经典及红外相变猜想相协调。

提出的方法

• 在空间T³上对四维规范场论进行正则化量子化，背景为固定2形式ZN规范场（即't Hooft通量），其由向量⃗m ∈ ZN³标记。
• 显式构造对称性算符：1形式中心对称性生成元、空间宇称(P)以及θ角的2π位移。
• 推导出在θ=π时，沿⃗m方向的1形式中心对称性生成元与θ位移算符之间的非平凡对易关系，从而导致中心扩张。
• 利用群上同调与转移函数，定义在T³上的扭线丛（SU(N)/ZN），以编码背景通量。
• 使用微分形式与Fubini-Study度量，在T⁴和CP²上计算背景通量下的拓扑荷，显示非平凡扭结时出现分数值。
• 将't Hooft通量推广至CP²，以计算具有循环群及Z₂×Z₂中心的群的分数拓扑荷，包括Spin(4N)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在T³上的四维规范场论正则算符代数中，0形式/1形式混合异常如何体现？
• RQ2 当异常存在时，对称性算符（宇称与1形式中心对称性）的代数结构是什么？
• RQ3 该异常如何导致有限体积下哈密顿量谱的能级简并？
• RQ4 是否可在所有具有非平凡中心的简单规范群中一致地推导出对称性代数的中心扩张？
• RQ5 该异常带来的量子代数约束如何与含伴随费米子的SU(N)理论中已知的半经典及红外相变行为相联系？

主要发现

• 0形式/1形式混合异常导致全局对称性算符代数的中心扩张，具体表现为在θ=π时宇称与1形式中心对称性生成元之间的中心扩张。
• 对于θ=π时的SU(N)，中心扩张代数意味着所有能级在T³上均具有2重简并，无论环面大小如何。
• 该能级简并持续存在于无限体积极限下，表明自发宇称破缺，与纯杨-米尔斯理论在θ=π时的相一致。
• 中心扩张源于沿通量方向的1形式中心对称性生成元与θ位移算符之间的非平凡对易子，该对易子仅在θ=π时非零。
• 该分析可推广至所有具有非平凡中心的简单规范群，包括SU(N)、Sp(N)、Spin(N)、E6和E7，且在T⁴和CP²上计算的分数拓扑荷一致。
• 对于Spin(4N)，在通量n₊, n₋的背景下，分数拓扑荷为Qtop = (p/2 + 1/4)(n₊² + n₋²) + Z；对于Spin(8p)，Qtop = p/2(n₊² + n₋²) − 1/2n₊n₋ + Z，与CP²上的已知结果一致。