[论文解读] The mixed Einstein-Hilbert action and extrinsic geometry of foliated manifolds

Elisabetta Barletta, Sorin Dragomir+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过定义总混合标量曲率 $ S_{\text{mix}} $，为叶状流形引入了一个混合爱因斯坦-希尔伯特作用量，该曲率对由互补分布向量张成的平面的截面曲率进行平均。推导了在保持正交性条件下对度量进行适应性变化的欧拉-拉格朗日方程，以外几何时几何和部分里奇张量两种形式呈现，解包括扭曲积度量和满足特定偏微分方程的共形度量。

ABSTRACT

We develop variation formulas for the quantities of extrinsic geometry for adapted variations of metrics on almost-product (e.g. foliated) Riemannian manifolds, and apply them to study the total mixed scalar curvature of a distribution -- analogue of the classical Einstein-Hilbert action. The mixed scalar curvature ${ m S}_{\, m mix}$ is the averaged sectional curvature over all planes that contain vectors from both distributions of an almost-product structure and the variations we consider preserve orthogonality of the distributions. We derive the directional derivative $D J_{\, m mix}$ (of the total ${ m S}_{\, m mix}$) for adapted variations of metrics on closed almost-product manifolds and foliations of arbitrary dimension. The obtained Euler-Lagrange equations are presented in two equiva\-lent forms: in terms of extrinsic geometry and intrinsically using the partial Ricci tensor. Certainly, these mixed field equations admit amount of solutions (e.g., twisted products).

研究动机与目标

• 推导几乎乘积结构与叶状黎曼流形上度量适应性变化下外几何时几何量的变分公式。
• 定义并研究总混合标量曲率 $ S_{\text{mix}} $，作为类似于爱因斯坦-希尔伯特作用量的几何作用量泛函。
• 推导闭叶状流形在适应性变化下总混合标量曲率 $ DJ_{\text{mix}} $ 的方向导数。
• 以两种等价形式呈现所得的欧拉-拉格朗日方程：一种基于外几何时几何，另一种使用部分里奇张量。
• 识别出几何解，如扭曲积度量和满足临界点偏微分方程的共形度量，包括 $ \phi_x^2 + \frac{1}{2}\phi_y^2 + e^\phi \phi_y = 0 $。

提出的方法

• 将混合标量曲率 $ S_{\text{mix}} $ 定义为在几乎乘积结构中，两个正交且非退化的分布中各取一个向量所张成平面的截面曲率的平均值。
• 考虑保持互补分布 $ \mathcal{D} $ 与 $ \widetilde{\mathcal{D}} $ 正交性的度量适应性变化，确保法丛结构保持一致。
• 利用涉及第二基本形式和曲率项的变分公式，推导总混合标量曲率泛函 $ J_{\text{mix}} = \int_M S_{\text{mix}} \, d\text{vol}_g $ 的一阶变分 $ DJ_{\text{mix}} $。
• 以两种形式表达欧拉-拉格朗日方程：一种涉及平均曲率和第二基本形式（外几何时几何），另一种使用部分里奇张量 $ \text{Ric}^{\mathcal{D}} $ 与 $ \text{Ric}^{\widetilde{\mathcal{D}}} $。
• 分析欧氏度量的共形变化，推导出一个临界点偏微分方程：$ \phi_x^2 + \frac{1}{2}\phi_y^2 + e^\phi \phi_y = 0 $，并构造显式解，如在半平面上的 $ g_c = (2y + c)^{-1}(dx^2 + dy^2) $。
• 将结果应用于余维一叶状结构，表明欧氏度量对 $ f(z) = z^2 $ 不是 $ \mathbb{R}\nabla u $-临界，但存在满足特定偏微分方程约束的临界度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 叶状流形的爱因斯坦-希尔伯特作用量的适当推广是什么？它与外曲率有何关系？
• RQ2 保持分布正交性的度量变化如何影响总混合标量曲率？
• RQ3 总混合标量曲率泛函的临界度量的欧拉-拉格朗日方程是什么？
• RQ4 临界点方程能否用部分里奇张量内在地表达？与外几何时表述相比如何？
• RQ5 是否存在临界点方程的显式解，如共形度量或扭曲积结构？

主要发现

• 对闭几乎乘积流形上适应性变化，推导出总混合标量曲率泛函的方向导数 $ DJ_{\text{mix}} $，得到一个完整的变分公式，包含曲率与第二基本形式项。
• 证明了 $ J_{\text{mix}} $ 的欧拉-拉格朗日方程在两种表述下等价：一种基于外几何时几何（涉及平均曲率与第二基本形式），另一种使用部分里奇张量 $ \text{Ric}^{\mathcal{D}} $。
• 通过欧氏度量的共形形变构造出显式临界度量，满足偏微分方程 $ \phi_x^2 + \frac{1}{2}\phi_y^2 + e^\phi \phi_y = 0 $，解为 $ \phi(y) = -\log|2y + c| $，对应度量 $ g_c = (2y + c)^{-1}(dx^2 + dy^2) $ 定义在半平面上。
• 对于平行于 $ x $-轴的直线叶状结构，度量 $ g_c = (2y + c)^{-1}(dx^2 + dy^2) $ 是 $ \mathcal{D} $-临界的，证明了除欧氏情形外存在非平凡的临界度量。
• 欧氏度量对 $ f(z) = z^2 $ 不是 $ \mathbb{R}\nabla u $-临界，因为临界性条件 $ -2(u_{xx}^2 + u_{xy}^2) + \lambda^{-2}\mathcal{L}(u) + \lambda^{-4}\mathcal{L}(u)^2 = 0 $ 不成立，确认了临界性条件的非平凡性。
• 非线性算子 $ \mathcal{L}(u) = (u_x^2 - u_y^2)u_{xx} + 2u_x u_y u_{xy} $ 出现在形状算子的迹中，将其与水平叶状结构的外几何时几何联系起来。