[论文解读] The mixed scalar curvature flow on a fiber bundle

Vladimir Rovenski, Leonid Zelenko|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在纤维丛上对度量进行保角流，以使混合标量曲率趋于正定。结果表明，若正交分布的非脐性相对于其非可积性足够小，则该流收敛到具有正混合标量曲率的度量。平均曲率向量遵循一个受迫Burgers方程，该方程可简化为一个与分布几何非脐性相关的势能项的线性Schrödinger方程。

ABSTRACT

We apply conformal flows of metrics restricted to the orthogonal distribution $D$ of a foliation to study the question: Which foliations admit a metric such that the leaves are totally geodesic and the mixed scalar curvature is positive? Our evolution operator includes the integrability tensor of $D$, and for the case of integrable orthogonal distribution the flow velocity is proportional to the mixed scalar curvature. We observe that the mean curvature vector $H$ of $D$ satisfies along the leaves the forced Burgers equation, this reduces to the linear Schrödinger equation, whose potential function is a certain "non-umbilicity" measure of $D$. On order to show convergence of the solution metrics $g_t$ as $t o\infty$, we normalize the flow, and instead of a foliation consider a fiber bundle $π: M o B$ of a Riemannian manifold $(M, g_0)$. In this case, if the "non-umbilicity" of $D$ is smaller in a sense then the "non-integrability", then the limit mixed scalar curvature function is positive. For integrable $D$, we give examples with foliated surfaces and twisted products.

研究动机与目标

• 确定黎曼流形上叶状结构在何种几何条件下可赋予一个度量，使得叶面全测地且混合标量曲率为正。
• 通过限制在叶状结构正交分布上的保角流，分析混合标量曲率的演化。
• 在纤维丛设定下，建立该流的收敛性准则，特别是当正交分布未必可积时。
• 将平均曲率向量的动力学与受迫Burgers方程联系起来，并将其简化为带有几何势能的线性Schrödinger算子。

提出的方法

• 作者在纤维丛 $\pi: M \to B$ 上定义了度量的保角流，仅在正交分布 $D$ 上演化度量，以控制混合标量曲率。
• 当 $D$ 可积时，流速度与混合标量曲率成正比；在不可积情况下，演化算子中引入了 $D$ 的可积张量 $T$。
• 正交分布 $D$ 的平均曲率向量 $H$ 满足一个受迫Burgers方程，该方程可简化为一个带有测量 $D$ 非脐性的势函数的线性Schrödinger方程。
• 通过归一化确保流的长时间存在与收敛；利用Schrödinger算子 $\mathcal{H} = -\Delta - f(x)\,\text{id}$ 的谱理论分析极限度量。
• 利用Sobolev嵌入与特征函数正则性，证明了解的级数展开的一致收敛性，从而保证极限度量的光滑性。
• 在非脐性相对于非可积性以精确几何方式足够小时，可建立混合标量曲率趋于正定的收敛条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，黎曼流形上的叶状结构可赋予一个度量，使得叶面全测地且混合标量曲率为正？
• RQ2 在保角流下，正交分布的平均曲率向量如何演化？其动力学由何种PDE控制？
• RQ3 正交分布的非可积性与平均曲率的非脐性之间存在何种关系？它们如何影响混合标量曲率的符号？
• RQ4 在纤维丛上，保角流能否收敛到具有正混合标量曲率的度量？在何种条件下可以？

主要发现

• 平均曲率向量 $H$ 按受迫Burgers方程演化，该方程可简化为带有势函数 $f(x)$ 的线性Schrödinger方程，$f(x)$ 衡量分布 $D$ 的非脐性。
• 对于归一化的保角流，若 $D$ 的非脐性相对于其非可积性足够小，则极限混合标量曲率为正。
• $\mathcal{H} = -\Delta - f(x)\,\text{id}$ 的特征函数光滑且属于 $C^\infty(F)$，确保极限度量的正则性。
• 任意光滑函数 $u$ 在纤维 $F$ 上关于 $\mathcal{H}$ 特征函数的级数展开绝对且一致收敛，其导数也一致收敛。
• $\mathcal{H}$ 的谱理论结合Sobolev嵌入，确保流的 $L^2$-解一致收敛到光滑极限，从而保证光滑极限度量的存在性。
• 本文提供了叶状曲面与扭积的显式例子，说明该流在几何上不同的设定中具有适用性。