[论文解读] The Mobius and Nilsequences Conjecture

Ben Green, Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2008

Advanced Algebra and Geometry被引用 3

一句话总结

本文证明了Möbius函数μ(n)与任意多项式nilsequence F(g(n)L)强正交，即在{1,...,N}上的内积被1/log^A N有界，对所有A > 0成立。这证实了Möbius与Nilsequence猜想MN(s)，并为证明关于素数构型的广义Hardy-Littlewood猜想提供了关键要素。

ABSTRACT

We show that the Mobius function mu(n) is strongly asymptotically orthogonal to any polynomial nilsequence n -> F(g(n)L). Here, G is a simply-connected nilpotent Lie group with a discrete and cocompact subgroup L (so G/L is a nilmanifold), g : Z -> G is a polynomial sequence and F: G/L -> R is a Lipschitz function. More precisely, we show that the inner product of mu(n) with F(g(n)L) over {1,...,N} is bounded by 1/log^A N, for all A > 0. In particular, this implies the Mobius and Nilsequence conjecture MN(s) from our earlier paper Linear equations in primes for every positive integer s. This is one of two major ingredients in our programme, outlined in that paper, to establish a large number of cases of the generalised Hardy-Littlewood conjecture, which predicts how often a collection \psi_1,...,\psi_t : Z^d -> Z of linear forms all take prime values. The proof is a relatively quick application of the results in our recent companion paper on the distribution of polynomial orbits on nilmanifolds. We give some applications of our main theorem. We show, for example, that the Mobius function is uncorrelated with any bracket polynomial. We also obtain a result about the distribution of nilsequences n -> a^nxL as n ranges only over the primes.

研究动机与目标

• 为所有正整数s建立Möbius与Nilsequence猜想MN(s)。
• 在nilmanifold上展示Möbius函数与多项式nilsequence之间的强正交性。
• 为证明关于素数构型的广义Hardy-Littlewood猜想提供基础结果。
• 扩展对Möbius函数与高阶nilsequence及方括号多项式关系的理解。

提出的方法

• 利用关于nilmanifold上多项式轨道等分布性的配套论文结果。
• 应用幂零群与齐性动力系统的理论来分析序列F(g(n)L)。
• 在nilmanifold G/L上使用Lipschitz函数F来控制nilsequence的振荡。
• 应用大筛法与谱方法来界定与Möbius函数的内积。
• 利用在单连通幂零李群中的多项式序列g: Z → G的结构。
• 建立1/log^A N的衰减速率，其中A > 0任意，表明存在强抵消。

实验结果

研究问题

• RQ1 Möbius函数是否与nilmanifold上的多项式nilsequence正交？
• RQ2 Möbius与Nilsequence猜想MN(s)是否可对所有s ≥ 1证明？
• RQ3 μ(n)与F(g(n)L)之间内积的定量衰减速率是什么？
• RQ4 Möbius函数与方括号多项式之间的相关性如何？
• RQ5 当n遍历素数时，nilsequence a^n x L的分布是什么？

主要发现

• μ(n)与F(g(n)L)的内积被1/log^A N有界，对所有A > 0成立，证明了强正交性。
• Möbius函数与任何方括号多项式不相关，因为这些是nilsequence的特例。
• 该结果证实了对每个正整数s的Möbius与Nilsequence猜想MN(s)。
• 在给定条件下，当限制在素数n上时，nilsequence n ↦ a^n x L的分布是等分布的。
• 证明依赖于配套论文中确立的nilmanifold上多项式轨道的等分布性。
• 1/log^A N的衰减速率对所有A > 0一致成立，表明求和中的近乎确定抵消。