[论文解读] The Mobius disjointness conjecture for distal flows

Jianya Liu, Peter Sarnak|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文证明了在2-环面上的非线性拟正则流的Möbius不相交性猜想，具体为形如 $T(x,y) = (ax + \alpha, cx + dy + h(x))$ 的光滑斜积系统，其中 $h$ 为满足特定衰减条件的解析函数。通过有限版本的Vinogradov方法、傅里叶分析与驻相法，作者证明了即使在系统不规则（即Birkhoff平均不收敛）的情况下，Möbius函数仍与这类系统线性不相交，从而将该猜想推广至非拟正则的流系统。

ABSTRACT

We summarize main results in our paper "The Mobius function and distal flows", and give a direct proof with rate of that the Mobius function is disjoint from Furstenberg's irregular system. This will be published in the Proceedings of the Sixth ICCM, held in Taipei in 2013.

研究动机与目标

• 将Möbius不相交性猜想扩展至非线性、不规则及拟正则的动力系统，超越此前已知的拟正则或正则情形。
• 在旋转参数 $\alpha$ 不满足Diophantine条件的情况下，建立Möbius函数与2-环面上光滑斜积流的线性不相交性，其中非线性项为解析函数 $h(x)$。
• 通过结合Bourgain-Sarnak-Ziegler有限Vinogradov方法、傅里叶分析与驻相法，发展一种新分析方法，以克服不规则系统中Birkhoff遍历平均失效的问题。
• 证明该猜想对一大类零熵拟正则系统成立，包括与Furstenberg例子共轭的系统，从而推广了在齐性空间与仿射环流上的已知结果。

提出的方法

• 通过共轭与斜积流的结构分解，将问题约化为环面情形。
• 应用有限版本的Vinogradov方法（Bourgain-Sarnak-Ziegler）以处理涉及Möbius函数的指数和。
• 利用Poisson求和公式与驻相法，估计 $h(x)$ 的快速衰减傅里叶系数对应的指数和。
• 对非线性相位函数 $e(\phi(x))$ 进行傅里叶展开，其系数 $a_l(c_1)$ 通过分部积分估计，得到 $|a_l(c_1)| \ll C^2 / l^2$。
• 迭代应用该方法以处理多个频率项，导出涉及 $C^{2(K-1)}$ 的界，其中 $K$ 与 $\alpha$ 的连分数逼近相关。
• 利用Davenport与Hua的经典结果，对 $n \leq N$ 上的指数和进行估计，得到在系数上一致的 $O(N \log^{-A} N)$ 有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Möbius不相交性猜想是否对2-环面上的非线性、拟正则、零熵流成立，即使系统不规则（即Birkhoff平均不存在）？
• RQ2 是否可在不假设旋转参数 $\alpha$ 满足Diophantine条件的前提下，建立Möbius函数与这类系统之间的不相交性？
• RQ3 在Möbius函数背景下，可采用何种分析技术来控制非线性函数快速衰减傅里叶系数对应的指数和？
• RQ4 Bourgain-Sarnak-Ziegler方法在多大程度上可推广至处理零熵的非交换或非线性动力系统？
• RQ5 该不相交性结果能否推广至Möbius函数以外的其他乘性函数，如Liouville函数？

主要发现

• 根据定理2.1，Möbius函数与所有紧阿贝尔群上零熵的仿射线性流线性不相交，且收敛速率具有量化形式。
• 对于形如 $T(x,y) = (ax + \alpha, cx + dy + h(x))$ 的2-环面上非线性斜积系统，其中 $h$ 为解析函数且满足 $|\hat{h}(m)| \ll e^{-\tau|m|}$ 与 $|\hat{h}(m)| \gg e^{-\tau_2|m|}$，Möbius函数与该系统线性不相交，如定理2.2所述。
• 该结果对所有 $\alpha$ 成立，包括非Diophantine情形，因此覆盖了Birkhoff平均不收敛的不规则系统。
• 证明中建立了界 $|\widetilde{S}(N)| \ll C^{2(K-1)} \cdot \sup_{l_1,\dots,l_{K-1}} \left| \sum_{n \leq N} \mu(n) e(n l_1 \theta_1 + \cdots + n l_{K-1} \theta_{K-1}) \right|$，其中 $C^{2(K-1)} \leq \log N$。
• 内层指数和以 $O(N \log^{-A} N)$ 有界，对任意 $A > 0$ 成立，且与系数无关，利用了Davenport与Hua的经典结果。
• 该方法适用于Furstenberg的不规则、拟正则、零熵系统的例子，证明了其Möbius不相交性，并可推广至零熵齐性空间上的仿射线性流（定理2.3）。