[论文解读] The model companions of set theory

Giorgio Venturi, Matteo Viale|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文在假定存在类多Woodin基数的前提下，确立了$H_{\omega_1}$（即遗传可数集合）的一阶理论，是宇宙$V$的一阶理论在扩展签名下的模型伴影，其中签名中加入了$\Delta_0$-公式和普遍Baire实集的谓词。它表明，一个$\Pi_2$-句子在$V$中可强制当且仅当其与$V$的理论的全称片段一致，且当且仅当其在$V$的理论的模型伴影中成立。

ABSTRACT

This is an introductory paper to a series of results linking generic absoluteness results for second and third order number theory to the model theoretic notion of model companionship. Specifically we develop here a general framework linking Woodin's generic absoluteness results for second order number theory and the theory of universally Baire sets to model companionship and show that (with the required care in details) a $Π_2$-property formalized in an appropriate language for second order number theory is forcible from some $T\supseteq\mathsf{ZFC}+$large cardinals if and only if it is consistent with the universal fragment of $T$ if and only if it is realized in the model companion of $T$. In particular we show that the first order theory of $H_{ω_1}$ is the model companion of the first order theory of the universe of sets assuming the existence of class many Woodin cardinals, and working in a signature with predicates for $Δ_0$-properties and for all universally Baire sets of reals. We will extend these results also to the theory of $H_{\aleph_2}$ in a follow up of this paper.

研究动机与目标

• 建立模型论中的模型伴影与策论中的泛型绝对性之间的深刻联系。
• 在大基数假设下，证明$H_{\omega_1}$的一阶理论是$V$的一阶理论的模型伴影。
• 在包含$\Delta_0$-公式和普遍Baire实集谓词的扩展签名中形式化集合论，以确保跨模型的语义清晰性。
• 证明$\Pi_2$-句子可强制当且仅当其与$V$的理论的全称片段一致。
• 为未来工作在$H_{\aleph_2}$上扩展这些结果奠定基础。

提出的方法

• 在集合论的一阶语言中加入$\Delta_0$-公式和普遍Baire实集的谓词，以确保在模型间可解释。
• 使用Robinson的模型伴影概念和无限强制，刻画理论的模型伴影。
• 应用Woodin对二阶数论的泛型绝对性结果，证明与$V$的理论的全称片段一致的$\Pi_2$-句子在模型伴影中被实现。
• 在假定存在类多Woodin基数的前提下，确立$V$的理论的模型伴影正是$H_{\omega_1}$的理论。
• 证明一个$\Pi_2$-句子在$V$中可强制当且仅当其与$V$的理论的全称片段一致。
• 利用模型伴影意味着伴影的模型恰好是Robinson无限强制下的无限泛型结构这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 模型论中的模型伴影与策论中的泛型绝对性之间有何关系？
• RQ2 在包含$\Delta_0$-和普遍Baire谓词的签名下，$H_{\omega_1}$的一阶理论是否是$V$的一阶理论的模型伴影？
• RQ3 能否通过与$V$的理论的全称片段的一致性来刻画$\Pi_2$-句子的可强制性？
• RQ4 大基数——特别是类多Woodin基数——在确保$H_{\omega_1}$的理论是$V$的理论的模型伴影中起什么作用？
• RQ5 包含普遍Baire集的扩展签名如何保持语义清晰性并支持模型论分析？

主要发现

• 在假定存在类多Woodin基数的前提下，$H_{\omega_1}$的一阶理论是包含$\Delta_0$-公式和普遍Baire实集的扩展签名下$V$的一阶理论的模型伴影。
• 在扩展签名中，一个$\Pi_2$-句子在$V$中可强制当且仅当其与$V$的理论的全称片段一致。
• 一个$\Pi_2$-句子在$V$的理论的模型伴影中被实现当且仅当其与$V$的理论的全称片段一致。
• $V$的理论的模型伴影恰好是$H_{\omega_1}$的理论，且在扩展签名下该理论是模型完备的。
• 在给定的大基数假设下，$\Pi_2$-句子的可强制性精确对应于其与$V$的理论的全称片段的一致性。
• 这些结果在后续工作中被推广至$H_{\aleph_2}$，预计在该情形下，泛型绝对性与模型伴影之间也将存在类似的联系。