[论文解读] The modelling and analysis of fractional-order control systems in frequency domain

Ivo Petráš, Ľ. Dorčák+3 more|ArXiv.org|Aug 24, 2000

Advanced Control Systems Design被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于频域的分数阶控制系统建模与分析框架，采用分数阶传递函数，通过伯德图和尼柯尔斯图实现稳定性分析。结果表明，分数阶控制器（如$PI^\lambda D^\delta$）相较于经典PID控制器具有更高的灵活性与鲁棒性，数值示例通过频率响应分析验证了系统的稳定性。

ABSTRACT

This paper deals with fractional-order controlled systems and fractional-order controllers in the frequency domain. The mathematical description by fractional transfer functions and properties of these systems are presented. The new ways for modelling of fractional-order systems are illustrated with a numerical example and obtained results are discussed in conclusion.

研究动机与目标

• 开发一种基于分数阶传递函数的分数阶控制系统频域建模方法。
• 将经典控制理论——特别是稳定性分析——扩展至分数阶系统，采用伯德图与尼柯尔斯图方法。
• 展示分数阶$PI^\lambda D^\delta$控制器的设计与分析，以提升动态性能。
• 通过指定稳定性与阻尼指标的数值示例验证所提出的框架。
• 表明分数阶控制器相较于整数阶控制器具有鲁棒性，并表现出定性不同的动力学行为。

提出的方法

• 使用广义传递函数对分数阶系统进行建模：$G_s(j\omega) = \frac{\sum_{k=0}^{m} b_k (j\omega)^{\alpha_k}}{\sum_{k=0}^{n} a_k (j\omega)^{\beta_k}}$，其中$\alpha_k, \beta_k \in \mathbb{R}$。
• 在频域中定义分数阶$PI^\lambda D^\delta$控制器为$G_c(j\omega) = K + \frac{T_i}{(j\omega)^\lambda} + T_d (j\omega)^\delta$，其中$\lambda, \delta \geq 0$。
• 采用最小二乘优化准则$Q = \sum_{m=0}^{M} W^2(\omega_m) |F(\omega_m) - G_s(j\omega_m)|^2$，从实验频率响应数据中识别系统参数。
• 应用伯德图与尼柯尔斯图频率响应方法评估稳定性：若尼柯尔斯图在正确方向上包围临界点$(-1, i0)$，则系统稳定。
• 利用稳定性度量（$S_t = 2.0$）与阻尼比（$\xi = 0.4$）调节控制器参数，以实现期望的动态行为。
• 将控制器重写为$G_c(j\omega) = C \frac{((j\omega)/\omega_n)^{\delta+\lambda} + 2\xi (j\omega)^\lambda / \omega_n + 1}{(j\omega)^\lambda}$，以支持含复数极点与零点的设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义传递函数在频域中有效建模分数阶系统？
• RQ2 分数阶控制系统的稳定性条件是什么？如何通过伯德图与尼柯尔斯图进行评估？
• RQ3 在分数阶系统中，$PI^\lambda D^\delta$控制器相较于经典PID控制器在控制性能方面有何改进？
• RQ4 非整数阶$\lambda$与$\delta$对系统动力学与鲁棒性有何影响？
• RQ5 频域方法能否可靠地扩展至分析与设计具有记忆性与遗传行为的分数阶控制系统？

主要发现

• 具有传递函数$G_s(j\omega) = \frac{1}{0.8(j\omega)^{2.2} + 0.5(j\omega)^{0.9} + 1}$的分数阶系统在频域中成功实现建模与分析。
• 设计了$PD^\delta$控制器，其表达式为$G_c(j\omega) = 50.0 + 5.326(j\omega)^{1.286}$，以实现稳定性度量$S_t = 2.0$与阻尼比$\xi = 0.4$。
• 尼柯尔斯图与伯德图（图2与图3）确认了闭环系统的稳定性，尼柯尔斯曲线在临界点$(-1, i0)$右侧通过。
• 所提出的框架通过频域分析实现了鲁棒控制器设计，$PI^\lambda D^\delta$控制器相较于经典PID控制器具有更高的灵活性。
• 分数阶控制器表现出鲁棒性，并能引发整数阶控制器无法实现的定性不同的动力学现象。
• 通过最小化二次误差准则$Q$进行参数识别，能有效从实验数据中捕捉系统的频率响应。