[论文解读] The modified Mellin transform of powers of the zeta-function

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Feb 1, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文研究了修正的梅林变换 $\mathcal{Z}_k(s) = \int_1^\infty |\zeta(1/2 + ix)|^{2k} x^{-s} dx$（$k \in \mathbb{N}$），建立了其解析延拓与均方估计，特别关注 $k=1$ 和 $k=2$ 的情形。关键贡献在于证明了八阶矩上界 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 与 $\mathcal{Z}_2(s)$ 的均方估计及谱积分平均之间等价，将黎曼 zeta 函数的矩与谱理论联系起来。

ABSTRACT

The modified Mellin transform ${\cal Z}_k(s) = \int_1^\infty |ζ(1/2+ix)|^{2k}x^{-s}{ m d} x (k = 1,2,...)$ is investigated. Analytic continuation and mean square estimates of ${\cal Z}_k(s) $ are discussed, as well as connections with power moments of $|ζ(1/2+ix)|$, with the special emphasis on the cases $k = 1,2$.

研究动机与目标

• 研究修正梅林变换 $\mathcal{Z}_k(s)$ 对 $|\zeta(1/2 + ix)|^{2k}$ 的解析延拓与均方行为。
• 将 $|\zeta(1/2 + it)|$ 的 $2k$-阶矩的上界与 $\mathcal{Z}_k(s)$ 及相关谱积分的均方估计联系起来。
• 建立八阶矩上界 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 与 $\mathcal{Z}_2(s)$ 的均方估计及谱平均 $I(T,G)$ 之间的等价性。
• 阐明 $\mathcal{Z}_k(s)$ 在理解临界线上黎曼 zeta 函数取值分布中的作用。

提出的方法

• 通过定理 1，将 $\mathcal{Z}_k(s)$ 的解析延拓与 $|\zeta(1/2 + it)|$ 的矩上界联系起来，将 $\Re(s) > c$ 区域的收敛性与 $L^2$-型矩估计联系起来。
• 利用柯西-施瓦茨不等式与已知的 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 上界，推导出 $\mathcal{Z}_k(s)$ 的均方估计，特别针对 $k=2$ 的情形。
• 定理 6 的证明利用恒等式 $\int_T^{2T} |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ 推导出八阶矩的上界，依赖于积分表示与谱理论。
• 通过涉及高斯权重的 $I(T,G)$ 显式公式，将 $\mathcal{Z}_2(s)$ 与谱理论联系起来，利用 Motohashi 对 $|\zeta(1/2 + it)|^4$ 的公式。
• 通过分部积分与 $L^2$-范数估计，建立八阶矩上界 $\ll T^{1+\varepsilon}$ 与均方上界 $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ 之间的等价性。
• 该方法依赖于已知的矩上界，如 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{3/2 + \varepsilon}$，并指出 $\mathcal{Z}_2(s)$ 估计中指数的改进将导致八阶矩上界中指数的改善。

实验结果

研究问题

• RQ1 $\mathcal{Z}_k(s)$ 的解析延拓如何与矩 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 的增长相关？
• RQ2 $\mathcal{Z}_2(s)$ 的均方与 $|\zeta(1/2 + it)|$ 的八阶矩之间有何联系？
• RQ3 是否可以通过谱积分平均 $I(T,G)$ 刻画 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 的上界？
• RQ4 $\mathcal{Z}_2(s)$ 均方估计中指数的改进如何影响八阶矩上界？
• RQ5 Motohashi 的谱公式在将 $\mathcal{Z}_2(s)$ 与八阶矩问题联系起来中起什么作用？

主要发现

• 当且仅当 $|\zeta(1/2 + it)|$ 的 $2k$-阶矩以 $T^{c+\varepsilon}$ 的速度增长时，修正梅林变换 $\mathcal{Z}_k(s)$ 可在 $\Re(s) > c$ 上解析延拓。
• 对于 $k=2$，不加条件地有 $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$，目前从已有估计中已知的指数为 $3/5 + \varepsilon$。
• 八阶矩上界 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 与均方上界 $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ 等价。
• 当 $T^\varepsilon \leq G \leq T$ 时，$\int_T^{2T} I^2(t,G) dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 成立，其中 $I(T,G)$ 是平滑的 $L^4$-平均，该上界与八阶矩上界中指数 $\theta = 1$ 等价。
• 若能将 $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^{\varepsilon}$ 中的指数改进至低于 $3/5$，则可得到优于 $3/2$ 的八阶矩上界 $\ll T^{3/2 + \varepsilon}$。
• 通过 Motohashi 的显式公式，建立了八阶矩与谱平均 $I(T,G)$ 之间的等价性，将 zeta 函数矩与谱理论联系起来。