[论文解读] The modular properties and the integral representations of the multiple elliptic gamma functions

Atsushi Narukawa|ArXiv.org|Jun 10, 2003

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用 16

一句话总结

本文通过推导多重正弦函数的积分表示和无限乘积表示，建立了多个椭圆伽马函数的模性质，表明其等价性导出模恒等式。关键结果通过与多重伯努利多项式及 $q$-移位阶乘的关系，将 Felder 和 Varchenko 对椭圆伽马函数的模变换推广至高秩多重伽马函数。

ABSTRACT

We show the modular properties of the multiple 'elliptic' gamma functions, which are an extension of those of the theta function and the elliptic gamma function. The modular property of the theta function is known as Jacobi's transformation, and that of the elliptic gamma function was provided by Felder and Varchenko. In this paper we deal with the multiple sine functions, since the modular properties of the multiple elliptic gamma functions result from the equivalence between two ways to represent the multiple sine functions as infinite product. We also derive integral representations of the multiple sine functions and the multiple elliptic gamma functions. We introduce correspondences between the multiple elliptic gamma functions and the multiple sine functions.

研究动机与目标

• 将 theta 函数和椭圆伽马函数的模性质推广至高秩多重椭圆伽马函数。
• 建立多重正弦函数 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$ 的积分表示和无限乘积表示。
• 证明 $S_r$ 的两种不同无限乘积表示等价，从而导出 $G_r$ 的模变换。
• 利用围道积分和广义多对数函数，推导 $G_r(z|\tau_0,\dots,\tau_r)$ 的积分表示。
• 通过涉及伯努利多项式和围道积分的无限乘积公式，建立 $G_r$ 与 $S_{r+1}$ 的联系。

提出的方法

• 使用 Nishizawa 定义的多重椭圆伽马函数 $G_r(z|\tau_0,\dots,\tau_r)$，其基于 $q$-移位阶乘 $(x;\underline{q})_\infty^{(r)}$。
• 依赖于多重正弦函数 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$ 的两种无限乘积表示的等价性，推导 $G_r$ 的模恒等式。
• 在复平面上使用围道积分，施加微小正虚部偏移（$\mathbb{R}+i\epsilon$），推导积分表示。
• 利用广义 $q$-多对数函数和多重伯努利多项式 $B_{rr}(z|\underline{\omega})$ 的指数形式表达函数。
• 推导关键恒等式：$\prod_{k=1}^r G_{r-2}(z/\omega_k | \text{ratios}) = \exp\left\{-\frac{2\pi i}{r!}B_{rr}(z|\underline{\omega})\right\}$，其中 $r \geq 2$。
• 建立 $G_r$ 作为 $S_{r+1}$ 函数的无限乘积表示，其中包含涉及伯努利多项式差值的修正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 多重椭圆伽马函数 $G_r(z|\tau_0,\dots,\tau_r)$ 的模性质如何推广 theta 函数和椭圆伽马函数的模性质？
• RQ2 多重正弦函数 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$ 的积分表示和无限乘积表示是什么？
• RQ3 两种 $S_r$ 无限乘积形式的等价性如何导出 $G_r$ 的模恒等式？
• RQ4 $G_r(z|\underline{\tau})$ 是否可表示为 $S_{r+1}$ 函数的无限乘积，且具有显式修正项？
• RQ5 多重伯努利多项式 $B_{rr}(z|\underline{\omega})$ 在 $G_r$ 的模变换中起什么作用？

主要发现

• 多重椭圆伽马函数 $G_r$ 的模性质源于多重正弦函数 $S_r(z|\omega_1,\dots,\omega_r)$ 的两种无限乘积表示的等价性。
• 恒等式 $\prod_{k=1}^r G_{r-2}(z/\omega_k | \text{ratios}) = \exp\left\{-\frac{2\pi i}{r!}B_{rr}(z|\underline{\omega})\right\}$ 对 $r \geq 2$ 和 $\mathrm{Im}(\omega_j/\omega_k) \neq 0$ 成立。
• 当 $r=2$ 时，该恒等式恢复了 Felder 和 Varchenko 对椭圆伽马函数 $\Gamma(z,\tau,\sigma)$ 的模变换。
• 模恒等式中的函数 $Q(z;\tau,\sigma)$ 被证明等于 $-\frac{1}{3}B_{33}(z|\tau,\sigma,-1)$。
• 通过在 $\mathbb{R}+i\epsilon$ 上的围道积分，推导出 $G_r(z|\underline{\tau})$ 的积分表示，涉及三角函数和指数项。
• 建立了 $G_r$ 作为 $S_{r+1}$ 函数的无限乘积表示，其中包含修正项 $\exp\left\{\frac{\pi i}{(r+1)!}(B_{r+1,r+1}(z+k+1|\underline{\tau}) - B_{r+1,r+1}(z-k|\underline{\tau}))\right\}$。