[论文解读] The Moduli of Flat PU(p,p)-Structures with Large Toledo Invariants

Eyal Markman, Eugene Z. Xia|ArXiv.org|Sep 22, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 6

一句话总结

该论文在固定陈类下，证明了当托德不变量 τ 超过 2(p−1)(g−1) 或小于 −2(p−1)(g−1) 时，紧致黎曼曲面（亏格 g > 1）上扁的 PU(p,p)-结构的模空间是连通的。通过 Higgs 簇理论和模空间上的 C*-作用，作者表明此类分量可形变至二元 Hodge 簇，后者被证明是不可约的，从而推出原始模空间的连通性。

ABSTRACT

For a compact Riemann surface $X$ of genus $g > 1$, $\Hom(π_1(X), PU(p,q))/PU(p,q)$ is the moduli space of flat $PU(p,q)$-connections on $X$. There are two invariants, the Chern class $c$ and the Toledo invariant $τ$ associated with each element in the moduli. The Toledo invariant is bounded in the range $-2min(p,q)(g-1) \le τ\le 2min(p,q)(g-1)$. This paper shows that the component, associated with a fixed $τ> 2(max(p,q)-1)(g-1)$ (resp. $τ< -2(max(p,q)-1)(g-1)$) and a fixed Chern class $c$, is connected (The restriction on $τ$ implies $p=q$).

研究动机与目标

• 确定紧致黎曼曲面（亏格 g > 1）上扁的 PU(p,p)-联络的模空间的拓扑连通性。
• 分析大托德不变量下模空间的结构，特别是当 τ > 2(p−1)(g−1) 或 τ < −2(p−1)(g−1) 时的情况。
• 建立在固定陈类和大托德不变量下模空间分量的连通性，通过其形变至一类特殊 Higgs 簇来证明。
• 证明二元 Hodge 簇的模空间区域不可约，这是 C*-等变形论证中的关键部分。
• 为理解曲面群表示与 Higgs 簇背景下 Betti、de Rham 和 Dolbeault 模空间的总体结构做出贡献。

提出的方法

• 利用 Simpson 对应关系，将 PU(p,q)-Betti 模空间与半稳定 U(p,q)-Higgs 簇的模空间相等化。
• 在 U(p,p)-Higgs 簇模空间上应用 C*-作用，研究不动点集，并识别出一个特殊分量：二元 Hodge 簇。
• 通过固定向量丛的商层构造一个参数化 Higgs 簇的 Quot 簇族，重点关注半稳定 Higgs 簇的开子概形。
• 利用局部环上的归纳法与形变技术，证明参数化局部层上自由秩 1 商层的 Quot 簇不可约。
• 通过光滑态射与纤维不可约性，证明二元 Hodge 簇的区域是不可约概形的稠密开子集，从而证明其不可约性。
• 通过 C*-作用与形变区域的不可约性，证明模空间中任意大托德不变量的点均可形变至二元 Hodge 簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定陈类和大托德不变量下，扁的 PU(p,p)-联络的模空间是否连通？
• RQ2 大托德不变量下模空间的分量能否形变至一类规范的、易于理解的 Higgs 簇？
• RQ3 U(p,p)-Higgs 簇模空间中二元 Hodge 簇的区域是否不可约？
• RQ4 U(p,p)-Higgs 簇模空间上的 C*-作用如何有助于分析模空间的拓扑结构？
• RQ5 半稳定 Higgs 簇在大托德不变量下模空间连通性中起什么作用？

主要发现

• 在固定陈类和托德不变量 τ > 2(p−1)(g−1) 下，扁的 PU(p,p)-联络模空间的分量是连通的。
• 同样地，在 τ < −2(p−1)(g−1) 条件下，该分量也是连通的，且在相同固定陈类下成立。
• U(p,p)-Higgs 簇模空间中二元 Hodge 簇的区域是不可约的。
• 模空间中任意具有大托德不变量的 Higgs 簇均可通过 C*-作用形变至二元 Hodge 簪。
• 参数化局部层上自由秩 1 商层的 Quot 簇是不可约的，这是证明二元 Hodge 簖簇区域不可约性的关键步骤。
• 该结果证实了关于 PU(p,q)-结构模空间在固定不变量下连通性的一个猜想，后由 Bradlow、Garcia-Prada 和 Gothen 独立证实。