[论文解读] The moduli space of 5 points on P^1 and K3 surfaces

Shigeyuki Kondō|ArXiv.org|Jul 1, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文通过具有5阶自同构的K3曲面的周期映射，建立了ℙ¹上5个有序点的模空间与2维复球面商之间的同构关系。通过构造一个与5个点相关的平面五次曲线所导出的K3曲面，并分析其Hodge结构与自同构，作者证明了周期域是球面均匀化的形式，从而将模空间与Deligne-Mostow框架下的算术群联系起来。

ABSTRACT

We show that the moduli space of ordered 5 points on the projective line is isomorphic to an arithmetic quotient of a complex ball by using the theory of periods of K3 surfaces. We also discuss a relation between our uniformization and the one given by Shimura, Terada and Deligne-Mostow.

研究动机与目标

• 通过K3曲面的周期理论，建立ℙ¹上5个有序点的模空间的均匀化形式。
• 证明该模空间同构于一个2维复球面的算术商。
• 通过5重循环覆盖的周期，将此均匀化与Shimura、Terada及Deligne-Mostow的经典球面均匀化联系起来。
• 探讨具有5阶自同构的K3曲面与4度del Pezzo曲面模空间之间的几何与算术关系。
• 研究其他Deligne-Mostow算术群（当D > 6时）是否与具有特殊自同构的K3曲面相关。

提出的方法

• 将K3曲面构造为ℙ²上关于一条六次曲线E₀ ∪ C的双覆盖的极小解析解，其中C是由5个点定义的平面五次曲线。
• 在K3曲面上定义一个由变换(x₀:x₁:x₂) ↦ (ζx₀:x₁:x₂)诱导的5阶自同构σ，其中ζ为本原5次单位根。
• 利用σ作用下的不变上同调，将周期域识别为定义在ℤ[ζ]上签名为(1,2)的赫米特型所对应的2维复球面。
• 应用Nikulin的格理论与K3曲面的Torelli定理，证明从5点构型模空间到球面商的周期映射是同构。
• 建立K3曲面与商空间(C × D)/(ℤ/5ℤ)之间的双有理等价，其中C是ℙ¹上在5个点处分支的5重循环覆盖，D是具有5阶自同构的亏格2曲线。
• 通过赫米特型与单值群的一致性，将所得球面均匀化与Deligne-Mostow及Shimura的均匀化进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℙ¹上5个有序点的模空间是否可通过具有5阶自同构的K3曲面的周期映射，被复球面商均匀化？
• RQ2 具有5阶自同构的K3曲面的周期域如何与Deligne-Mostow与Shimura的经典球面均匀化相关联？
• RQ3 由5个点构造的K3曲面与在这些点处分支的ℙ¹的5重循环覆盖之间存在何种几何关系？
• RQ4 Deligne-Mostow列表中D > 6时的算术子群Γ(μᵢ)是否可实现为具有特殊自同构的K3曲面的单值群？
• RQ5 从5点构型模空间到球面商的周期映射是否诱导同构？其伽罗瓦结构如何？

主要发现

• ℙ¹上5个有序点的模空间同构于算术商ℬ/Γ′，其中ℬ为2维复球面，Γ′为算术群。
• 具有5阶自同构的K3曲面的周期域是定义在ℤ[ζ]上签名为(1,2)的赫米特型所对应的复球面，其中ζ为本原5次单位根。
• 从5点构型模空间到ℬ/Γ′的周期映射是同构，其证明基于注入性（利用Torelli定理与自同构保持性）与满射性（通过Zariski主定理）。
• 与5个点相关的K3曲面双有理等价于商空间(C × D)/(ℤ/5ℤ)，其中C是ℙ¹上在5个点处分支的5重循环覆盖，D是具有5阶自同构的亏格2曲线。
• 球面均匀化所用的赫米特型与Shimura、Terada及Deligne-Mostow工作的结果一致，从而在两者之间建立了直接联系。
• 具有节点的四次del Pezzo曲面的模空间同构于ℙ¹上5个有序点的模空间，因此也由相同的复球面商均匀化。