[论文解读] The moduli space of complex Lagrangian submanifolds

Nigel Hitchin|ArXiv.org|Jan 18, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文研究复辛流形中复拉格朗日子流形的模空间，表明其自然几何结构为特殊凯勒度量。通过将此类子流形重新诠释为在 $V \times V$ 上关于两个辛形式的拉格朗日子流形，作者重新理解了几何结构，并展示了该框架如何将塞科蒂、费拉拉与吉拉德洛的超凯勒度量嵌入林德斯特罗姆与罗切克的Legendre变换构造之中。

ABSTRACT

Following an earlier paper on the differential-geometric structure of the moduli space of special Lagrangian submanifolds in a Calabi-Yau manifold, we follow an analogous approach for compact complex Lagrangian submanifolds of a (Kählerian) complex symplectic manifold. The natural geometric structure on the moduli space is a special Kähler metric, but we offer a different point of view on the local differential geometry of these, based on the structure of a submanifold of $V imes V$ (where $V$ is a symplectic vector space) which is Lagrangian with respect to two constant symplectic forms. As an application, we show using this point of view how the hyperkähler metric of Cecotti, Ferrara and Girardello associated to a special Kähler structure fits into the Legendre transform construction of Lindström and Ro\v cek.

研究动机与目标

• 理解复辛流形中紧致复拉格朗日子流形模空间的微分几何结构。
• 通过在 $V \times V$ 中的子流形（该子流形关于两个常量辛形式为拉格朗克）提供该模空间的替代局部描述。
• 阐明复拉格朗日子流形背景下特殊凯勒几何与超凯勒度量之间的关系。
• 将塞科蒂、费拉拉与吉拉德洛的超凯勒度量嵌入林德斯特罗姆与罗切克的Legendre变换框架之中。

提出的方法

• 通过将复拉格朗日子流形实现为辛向量空间 $V$ 的 $V \times V$ 子流形（关于两个常量辛形式为拉格朗克），分析其局部几何。
• 利用两种辛结构之间的相互作用，在模空间上导出特殊凯勒度量。
• 应用林德斯特罗姆与罗切克的Legendre变换构造，将特殊凯勒结构与超凯勒度量联系起来。
• 证明由特殊凯勒结构导出的超凯勒度量与塞科蒂、费拉拉与吉拉德洛所构造的度量一致。
• 运用复几何与辛拓扑中的微分几何技术，对模空间进行局部分析。
• 依赖于复拉格朗日子流形空间的内在几何及其与周围复辛结构的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 复辛流形中复拉格朗日子流形的模空间如何携带特殊凯勒度量？
• RQ2 在 $V \times V$ 上的双重辛结构在描述复拉格朗日子流形的局部几何中起什么作用？
• RQ3 塞科蒂、费拉拉与吉拉德洛的超凯勒度量如何从特殊凯勒结构中产生？
• RQ4 林德斯特罗姆与罗切克的Legendre变换构造在何种意义上统一了此语境中超凯勒度量的描述？
• RQ5 模空间的几何结构能否通过 $V \times V$ 上的两个辛形式的对偶描述重新诠释？

主要发现

• 复拉格朗日子流形的模空间自然携带特殊凯勒度量，与先前关于特殊拉格朗日子流形的结果一致。
• 模空间的局部几何可通过 $V \times V$ 中关于两个常量辛形式为拉格朗克的子流形来描述。
• 模空间上的特殊凯勒结构通过林德斯特罗姆与罗切克的Legendre变换构造导出超凯勒度量。
• 由特殊凯勒结构获得的超凯勒度量与塞科蒂、费拉拉与吉拉德洛所构造的度量一致。
• 在 $V \times V$ 中的对偶描述在此设定下为特殊凯勒与超凯勒结构提供了几何统一。
• 该框架证实了Legendre变换与复拉格朗日子流形自然产生的几何结构之间的兼容性。