[论文解读] The moduli space of special Lagrangian submanifolds

Nigel Hitchin|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 1997

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用 41

一句话总结

本文证明了卡拉比-丘流形中特殊拉格朗日子流形的模空间自然地具有从McLean理论诱导的黎曼度量的拉格朗日子流形结构，该结构位于一、二阶上同调群的乘积 $ H^1(L,\mathbb{R}) \times H^{n-1}(L,\mathbb{R}) $ 中。此外，本文进一步表明该模空间自然地具有复结构与凯勒度量，且当嵌入为特殊时，该度量为卡拉比-丘度量，通过勒让德对偶性将特殊拉格朗日子流形的几何与镜像对称联系起来。

ABSTRACT

This paper considers the natural geometric structure on the moduli space of deformations of a compact special Lagrangian submanifold $L^n$ of a Calabi-Yau manifold. From the work of McLean this is a smooth manifold with a natural $L^2$ metric. It is shown that the metric is induced from a local Lagrangian immersion into the product of cohomology groups $H^1(L) imes H^{n-1}(L)$. Using this approach, an interpretation of the mirror symmetry discussed by Strominger, Yau and Zaslow is given in terms of the classical Legendre transform.

研究动机与目标

• 确定卡拉比-丘流形中特殊拉格朗日子流形模空间上的自然几何结构。
• 证明该模空间通过调和1-形式上的 $ L^2 $-内积，从McLean的形变理论继承了黎曼度量。
• 证明模空间可自然地嵌入为对偶上同调群乘积 $ H^1(L,\mathbb{R}) \times H^{n-1}(L,\mathbb{R}) $ 中的拉格朗日子流形。
• 建立当该嵌入为特殊时，模空间上的度量为卡拉比-丘度量，从而将其与镜像对称联系起来。
• 证明模空间可局部描述为某函数的导数的图像，从而实现斯特罗明格-亚乌-扎斯洛镜像对称猜想中核心的勒让德变换对称性。

提出的方法

• 利用McLean的形变理论，将模空间的切空间识别为特殊拉格朗日子流形上调和1-形式的空间。
• 在对偶向量空间 $ H^1(L,\mathbb{R}) \times H^{n-1}(L,\mathbb{R}) $ 中构造模空间局部的自然嵌入，赋予其辛结构。
• 证明从McLean的 $ L^2 $-内积诱导的模空间上的度量，对应于该拉格朗日子流形上的自然黎曼度量。
• 应用勒让德变换将模空间与对偶描述联系起来，将该对称性解释为镜像对称的体现。
• 通过从模空间的复化版本拉回度量，在模空间上构造一个凯勒度量，其中凯勒势由实值函数 $ \rho $ 导出。
• 证明复化模空间上的全纯 $ m $-形式的长度为常数，当且仅当特殊拉格朗日子流形的体积为常数，从而表明该度量为卡拉比-丘度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡拉比-丘流形中特殊拉格朗日子流形模空间上的自然几何结构是什么？
• RQ2 McLean的调和1-形式上的 $ L^2 $-度量如何与模空间的内在几何相关联？
• RQ3 模空间能否自然地嵌入为辛向量空间中的拉格朗日子流形？若是，嵌入于哪个空间？
• RQ4 在何种条件下，模空间上诱导的度量为卡拉比-丘度量？
• RQ5 模空间与其对偶描述之间的勒让德对偶性，如何反映斯特罗明格-亚乌-扎斯洛镜像对称猜想？

主要发现

• 特殊拉格朗日子流形模空间可自然地嵌入为对偶上同调群乘积 $ H^1(L,\mathbb{R}) \times H^{n-1}(L,\mathbb{R}) $ 中的拉格朗日子流形。
• McLean的调和1-形式上的 $ L^2 $-度量被实现为该拉格朗日子流形上的自然诱导黎曼度量。
• 模空间具有自然的复结构与凯勒度量，其凯勒势为 $ \rho/2 $，其中 $ \rho $ 为模空间上的实值函数。
• 复化模空间上的全纯 $ m $-形式的长度为常数，当且仅当特殊拉格朗日子流形的体积为常数。
• 当嵌入为特殊时，模空间上的凯勒度量为卡拉比-丘度量，即存在协变常数的全纯 $ m $-形式。
• 通过勒让德变换，模空间与其对偶描述之间的对称性，为特殊拉格朗日子流形纤维化情境下的镜像对称提供了几何实现。